Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100440 / 97263
↖ ↑ ↗
← S 65.347368°
E 95.866699°		 ← 127.40 m → S 65.347368°
E 95.869446°		 →
↑
127.42 m
↓
↑
127.42 m
↓
S 65.348514°
E 95.866699°		 ← 127.39 m →
16 233 m²		 S 65.348514°
E 95.869446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766300201416016 y=0.742061614990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766300201416016 × 217)
    floor (0.766300201416016 × 131072)
    floor (100440.5)     		tx = 100440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742061614990234 × 217)
    floor (0.742061614990234 × 131072)
    floor (97263.5)     		ty = 97263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100440 / 97263 ti = "17/100440/97263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100440/97263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100440 ÷ 217
    100440 ÷ 131072     		x = 0.76629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97263 ÷ 217
    97263 ÷ 131072     		y = 0.742057800292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76629638671875 × 2 - 1) × π
    0.5325927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67318954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742057800292969 × 2 - 1) × π
    -0.484115600585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.52089401424552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67318954} λ = 1.67318954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52089401424552))-π/2
    2×atan(0.218516442787566)-π/2
    2×0.215134797327641-π/2
    0.430269594655283-1.57079632675     		φ = -1.14052673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67318954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.866699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14052673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.347368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100440 KachelY 97263 1.67318954 -1.14052673 95.866699 -65.347368
    Oben rechts KachelX + 1 100441 KachelY 97263 1.67323748 -1.14052673 95.869446 -65.347368
    Unten links KachelX 100440 KachelY + 1 97264 1.67318954 -1.14054673 95.866699 -65.348514
    Unten rechts KachelX + 1 100441 KachelY + 1 97264 1.67323748 -1.14054673 95.869446 -65.348514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14052673--1.14054673) × R
    2.0000000000131e-05 × 6371000     		dl = 127.420000000835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14052673--1.14054673) × R
    2.0000000000131e-05 × 6371000     		dr = 127.420000000835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67318954-1.67323748) × cos(-1.14052673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.417115841529434 × 6371000     		do = 127.397914564766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67318954-1.67323748) × cos(-1.14054673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.417097664379419 × 6371000     		du = 127.392362795272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14052673)-sin(-1.14054673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417115841529434-0.417097664379419)×R²
    abs(1.67323748-1.67318954)×1.81771500142869e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81771500142869e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81771500142869e-05×40589641000000     		ar = 16232.6885714353m²