Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100440 / 101528
↖ ↑ ↗
← S 69.801724°
E 95.866699°		 ← 105.45 m → S 69.801724°
E 95.869446°		 →
↑
105.44 m
↓
↑
105.44 m
↓
S 69.802672°
E 95.866699°		 ← 105.45 m →
11 119 m²		 S 69.802672°
E 95.869446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766300201416016 y=0.774600982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766300201416016 × 217)
    floor (0.766300201416016 × 131072)
    floor (100440.5)     		tx = 100440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774600982666016 × 217)
    floor (0.774600982666016 × 131072)
    floor (101528.5)     		ty = 101528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100440 / 101528 ti = "17/100440/101528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100440/101528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100440 ÷ 217
    100440 ÷ 131072     		x = 0.76629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101528 ÷ 217
    101528 ÷ 131072     		y = 0.77459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76629638671875 × 2 - 1) × π
    0.5325927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67318954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.5491943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72534489112506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67318954} λ = 1.67318954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72534489112506))-π/2
    2×atan(0.178111612064231)-π/2
    2×0.176263213541348-π/2
    0.352526427082696-1.57079632675     		φ = -1.21826990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67318954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.866699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21826990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.801724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100440 KachelY 101528 1.67318954 -1.21826990 95.866699 -69.801724
    Oben rechts KachelX + 1 100441 KachelY 101528 1.67323748 -1.21826990 95.869446 -69.801724
    Unten links KachelX 100440 KachelY + 1 101529 1.67318954 -1.21828645 95.866699 -69.802672
    Unten rechts KachelX + 1 100441 KachelY + 1 101529 1.67323748 -1.21828645 95.869446 -69.802672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21826990--1.21828645) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dl = 105.440050000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21826990--1.21828645) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dr = 105.440050000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67318954-1.67323748) × cos(-1.21826990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345269966993875 × 6371000     		do = 105.454335168811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67318954-1.67323748) × cos(-1.21828645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345254434715161 × 6371000     		du = 105.449591211091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21826990)-sin(-1.21828645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345269966993875-0.345254434715161)×R²
    abs(1.67323748-1.67318954)×1.55322787138701e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55322787138701e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55322787138701e-05×40589641000000     		ar = 11118.8602714205m²