Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100439 / 101843
↖ ↑ ↗
← S 70.098334°
E 95.863953°		 ← 103.95 m → S 70.098334°
E 95.866699°		 →
↑
103.91 m
↓
↑
103.91 m
↓
S 70.099269°
E 95.863953°		 ← 103.94 m →
10 801 m²		 S 70.099269°
E 95.866699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766292572021484 y=0.777004241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766292572021484 × 217)
    floor (0.766292572021484 × 131072)
    floor (100439.5)     		tx = 100439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777004241943359 × 217)
    floor (0.777004241943359 × 131072)
    floor (101843.5)     		ty = 101843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100439 / 101843 ti = "17/100439/101843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100439/101843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100439 ÷ 217
    100439 ÷ 131072     		x = 0.766288757324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101843 ÷ 217
    101843 ÷ 131072     		y = 0.777000427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766288757324219 × 2 - 1) × π
    0.532577514648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.67314161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777000427246094 × 2 - 1) × π
    -0.554000854492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.74044501450538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67314161} λ = 1.67314161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74044501450538))-π/2
    2×atan(0.175442308870001)-π/2
    2×0.173674799867705-π/2
    0.34734959973541-1.57079632675     		φ = -1.22344673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67314161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.863953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22344673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.098334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100439 KachelY 101843 1.67314161 -1.22344673 95.863953 -70.098334
    Oben rechts KachelX + 1 100440 KachelY 101843 1.67318954 -1.22344673 95.866699 -70.098334
    Unten links KachelX 100439 KachelY + 1 101844 1.67314161 -1.22346304 95.863953 -70.099269
    Unten rechts KachelX + 1 100440 KachelY + 1 101844 1.67318954 -1.22346304 95.866699 -70.099269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22344673--1.22346304) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dl = 103.911009999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22344673--1.22346304) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dr = 103.911009999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67314161-1.67318954) × cos(-1.22344673) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340406889555792 × 6371000     		do = 103.947338820806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67314161-1.67318954) × cos(-1.22346304) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340391553572587 × 6371000     		du = 103.942655793843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22344673)-sin(-1.22346304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340406889555792-0.340391553572587)×R²
    abs(1.67318954-1.67314161)×1.53359832050781e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53359832050781e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53359832050781e-05×40589641000000     		ar = 10801.029654828m²