Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100439 / 101526
↖ ↑ ↗
← S 69.799827°
E 95.863953°		 ← 105.44 m → S 69.799827°
E 95.866699°		 →
↑
105.44 m
↓
↑
105.44 m
↓
S 69.800775°
E 95.863953°		 ← 105.44 m →
11 118 m²		 S 69.800775°
E 95.866699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766292572021484 y=0.774585723876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766292572021484 × 217)
    floor (0.766292572021484 × 131072)
    floor (100439.5)     		tx = 100439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774585723876953 × 217)
    floor (0.774585723876953 × 131072)
    floor (101526.5)     		ty = 101526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100439 / 101526 ti = "17/100439/101526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100439/101526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100439 ÷ 217
    100439 ÷ 131072     		x = 0.766288757324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101526 ÷ 217
    101526 ÷ 131072     		y = 0.774581909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766288757324219 × 2 - 1) × π
    0.532577514648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.67314161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774581909179688 × 2 - 1) × π
    -0.549163818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72524901732582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67314161} λ = 1.67314161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72524901732582))-π/2
    2×atan(0.178128689119776)-π/2
    2×0.17627976545775-π/2
    0.352559530915499-1.57079632675     		φ = -1.21823680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67314161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.863953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21823680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.799827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100439 KachelY 101526 1.67314161 -1.21823680 95.863953 -69.799827
    Oben rechts KachelX + 1 100440 KachelY 101526 1.67318954 -1.21823680 95.866699 -69.799827
    Unten links KachelX 100439 KachelY + 1 101527 1.67314161 -1.21825335 95.863953 -69.800775
    Unten rechts KachelX + 1 100440 KachelY + 1 101527 1.67318954 -1.21825335 95.866699 -69.800775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21823680--1.21825335) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dl = 105.440050000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21823680--1.21825335) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dr = 105.440050000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67314161-1.67318954) × cos(-1.21823680) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345301031267587 × 6371000     		do = 105.441823869028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67314161-1.67318954) × cos(-1.21825335) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345285499178018 × 6371000     		du = 105.437080958628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21823680)-sin(-1.21825335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345301031267587-0.345285499178018)×R²
    abs(1.67318954-1.67314161)×1.55320895690036e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55320895690036e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55320895690036e-05×40589641000000     		ar = 11117.5411345815m²