Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100438 / 97402
↖ ↑ ↗
← S 65.506131°
E 95.861206°		 ← 126.63 m → S 65.506131°
E 95.863953°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
S 65.507270°
E 95.861206°		 ← 126.62 m →
16 030 m²		 S 65.507270°
E 95.863953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766284942626953 y=0.743122100830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766284942626953 × 217)
    floor (0.766284942626953 × 131072)
    floor (100438.5)     		tx = 100438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743122100830078 × 217)
    floor (0.743122100830078 × 131072)
    floor (97402.5)     		ty = 97402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100438 / 97402 ti = "17/100438/97402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100438/97402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100438 ÷ 217
    100438 ÷ 131072     		x = 0.766281127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97402 ÷ 217
    97402 ÷ 131072     		y = 0.743118286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766281127929688 × 2 - 1) × π
    0.532562255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67309367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743118286132812 × 2 - 1) × π
    -0.486236572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52755724329271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67309367} λ = 1.67309367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52755724329271))-π/2
    2×atan(0.217065257836768)-π/2
    2×0.213749329280222-π/2
    0.427498658560445-1.57079632675     		φ = -1.14329767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67309367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.861206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14329767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.506131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100438 KachelY 97402 1.67309367 -1.14329767 95.861206 -65.506131
    Oben rechts KachelX + 1 100439 KachelY 97402 1.67314161 -1.14329767 95.863953 -65.506131
    Unten links KachelX 100438 KachelY + 1 97403 1.67309367 -1.14331754 95.861206 -65.507270
    Unten rechts KachelX + 1 100439 KachelY + 1 97403 1.67314161 -1.14331754 95.863953 -65.507270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14329767--1.14331754) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14329767--1.14331754) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67309367-1.67314161) × cos(-1.14329767) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414595865377694 × 6371000     		do = 126.628248983839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67309367-1.67314161) × cos(-1.14331754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414577783483744 × 6371000     		du = 126.622726307999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14329767)-sin(-1.14331754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414595865377694-0.414577783483744)×R²
    abs(1.67314161-1.67309367)×1.80818939494731e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80818939494731e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80818939494731e-05×40589641000000     		ar = 16029.7446088428m²