Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100437 / 97265
↖ ↑ ↗
← S 65.349659°
E 95.858459°		 ← 127.39 m → S 65.349659°
E 95.861206°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
S 65.350805°
E 95.858459°		 ← 127.38 m →
16 223 m²		 S 65.350805°
E 95.861206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766277313232422 y=0.742076873779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766277313232422 × 217)
    floor (0.766277313232422 × 131072)
    floor (100437.5)     		tx = 100437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742076873779297 × 217)
    floor (0.742076873779297 × 131072)
    floor (97265.5)     		ty = 97265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100437 / 97265 ti = "17/100437/97265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100437/97265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100437 ÷ 217
    100437 ÷ 131072     		x = 0.766273498535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97265 ÷ 217
    97265 ÷ 131072     		y = 0.742073059082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766273498535156 × 2 - 1) × π
    0.532546997070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.67304573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742073059082031 × 2 - 1) × π
    -0.484146118164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.52098988804476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67304573} λ = 1.67304573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52098988804476))-π/2
    2×atan(0.218495493790245)-π/2
    2×0.215114802958634-π/2
    0.430229605917268-1.57079632675     		φ = -1.14056672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67304573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.858459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14056672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.349659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100437 KachelY 97265 1.67304573 -1.14056672 95.858459 -65.349659
    Oben rechts KachelX + 1 100438 KachelY 97265 1.67309367 -1.14056672 95.861206 -65.349659
    Unten links KachelX 100437 KachelY + 1 97266 1.67304573 -1.14058671 95.858459 -65.350805
    Unten rechts KachelX + 1 100438 KachelY + 1 97266 1.67309367 -1.14058671 95.861206 -65.350805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14056672--1.14058671) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14056672--1.14058671) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67304573-1.67309367) × cos(-1.14056672) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.417079496151266 × 6371000     		do = 127.386813751334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67304573-1.67309367) × cos(-1.14058671) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.417061327756448 × 6371000     		du = 127.381264655902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14056672)-sin(-1.14058671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417079496151266-0.417061327756448)×R²
    abs(1.67309367-1.67304573)×1.81683948181077e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.81683948181077e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.81683948181077e-05×40589641000000     		ar = 16223.1586387342m²