Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100436 / 99396
↖ ↑ ↗
← S 67.680257°
E 95.855713°		 ← 115.97 m → S 67.680257°
E 95.858459°		 →
↑
115.95 m
↓
↑
115.95 m
↓
S 67.681300°
E 95.855713°		 ← 115.96 m →
13 447 m²		 S 67.681300°
E 95.858459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766269683837891 y=0.758335113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766269683837891 × 217)
    floor (0.766269683837891 × 131072)
    floor (100436.5)     		tx = 100436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758335113525391 × 217)
    floor (0.758335113525391 × 131072)
    floor (99396.5)     		ty = 99396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100436 / 99396 ti = "17/100436/99396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100436/99396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100436 ÷ 217
    100436 ÷ 131072     		x = 0.766265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99396 ÷ 217
    99396 ÷ 131072     		y = 0.758331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766265869140625 × 2 - 1) × π
    0.53253173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67299780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758331298828125 × 2 - 1) × π
    -0.51666259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6231434211351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67299780} λ = 1.67299780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6231434211351))-π/2
    2×atan(0.197277596834705)-π/2
    2×0.194776499303456-π/2
    0.389552998606913-1.57079632675     		φ = -1.18124333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67299780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.855713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18124333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.680257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100436 KachelY 99396 1.67299780 -1.18124333 95.855713 -67.680257
    Oben rechts KachelX + 1 100437 KachelY 99396 1.67304573 -1.18124333 95.858459 -67.680257
    Unten links KachelX 100436 KachelY + 1 99397 1.67299780 -1.18126153 95.855713 -67.681300
    Unten rechts KachelX + 1 100437 KachelY + 1 99397 1.67304573 -1.18126153 95.858459 -67.681300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18124333--1.18126153) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dl = 115.952199999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18124333--1.18126153) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dr = 115.952199999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67299780-1.67304573) × cos(-1.18124333) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.379774939839667 × 6371000     		do = 115.968846572102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67299780-1.67304573) × cos(-1.18126153) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.379758103340555 × 6371000     		du = 115.963705344555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18124333)-sin(-1.18126153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379774939839667-0.379758103340555)×R²
    abs(1.67304573-1.67299780)×1.6836499111883e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.6836499111883e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.6836499111883e-05×40589641000000     		ar = 13446.5448235199m²