Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100435 / 101844
↖ ↑ ↗
← S 70.099269°
E 95.852966°		 ← 103.96 m → S 70.099269°
E 95.855713°		 →
↑
103.97 m
↓
↑
103.97 m
↓
S 70.100204°
E 95.852966°		 ← 103.96 m →
10 809 m²		 S 70.100204°
E 95.855713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766262054443359 y=0.777011871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766262054443359 × 217)
    floor (0.766262054443359 × 131072)
    floor (100435.5)     		tx = 100435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777011871337891 × 217)
    floor (0.777011871337891 × 131072)
    floor (101844.5)     		ty = 101844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100435 / 101844 ti = "17/100435/101844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100435/101844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100435 ÷ 217
    100435 ÷ 131072     		x = 0.766258239746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101844 ÷ 217
    101844 ÷ 131072     		y = 0.777008056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766258239746094 × 2 - 1) × π
    0.532516479492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.67294986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777008056640625 × 2 - 1) × π
    -0.55401611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.740492951405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67294986} λ = 1.67294986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.740492951405))-π/2
    2×atan(0.175433898911227)-π/2
    2×0.173666641026069-π/2
    0.347333282052138-1.57079632675     		φ = -1.22346304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67294986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.852966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22346304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.099269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100435 KachelY 101844 1.67294986 -1.22346304 95.852966 -70.099269
    Oben rechts KachelX + 1 100436 KachelY 101844 1.67299780 -1.22346304 95.855713 -70.099269
    Unten links KachelX 100435 KachelY + 1 101845 1.67294986 -1.22347936 95.852966 -70.100204
    Unten rechts KachelX + 1 100436 KachelY + 1 101845 1.67299780 -1.22347936 95.855713 -70.100204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22346304--1.22347936) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dl = 103.974720000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22346304--1.22347936) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dr = 103.974720000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67294986-1.67299780) × cos(-1.22346304) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.340391553572587 × 6371000     		do = 103.96434214007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67294986-1.67299780) × cos(-1.22347936) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.340376208095939 × 6371000     		du = 103.959655236509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22346304)-sin(-1.22347936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340391553572587-0.340376208095939)×R²
    abs(1.67299780-1.67294986)×1.53454766481653e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.53454766481653e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.53454766481653e-05×40589641000000     		ar = 10809.4197045777m²