Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100434 / 97330
↖ ↑ ↗
← S 65.424014°
E 95.850220°		 ← 127.03 m → S 65.424014°
E 95.852966°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
S 65.425157°
E 95.850220°		 ← 127.02 m →
16 137 m²		 S 65.425157°
E 95.852966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766254425048828 y=0.742572784423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766254425048828 × 217)
    floor (0.766254425048828 × 131072)
    floor (100434.5)     		tx = 100434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742572784423828 × 217)
    floor (0.742572784423828 × 131072)
    floor (97330.5)     		ty = 97330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100434 / 97330 ti = "17/100434/97330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100434/97330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100434 ÷ 217
    100434 ÷ 131072     		x = 0.766250610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97330 ÷ 217
    97330 ÷ 131072     		y = 0.742568969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766250610351562 × 2 - 1) × π
    0.532501220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67290192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742568969726562 × 2 - 1) × π
    -0.485137939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52410578652007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67290192} λ = 1.67290192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52410578652007))-π/2
    2×atan(0.217815743580569)-π/2
    2×0.214465933674588-π/2
    0.428931867349175-1.57079632675     		φ = -1.14186446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67290192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.850220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14186446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.424014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100434 KachelY 97330 1.67290192 -1.14186446 95.850220 -65.424014
    Oben rechts KachelX + 1 100435 KachelY 97330 1.67294986 -1.14186446 95.852966 -65.424014
    Unten links KachelX 100434 KachelY + 1 97331 1.67290192 -1.14188440 95.850220 -65.425157
    Unten rechts KachelX + 1 100435 KachelY + 1 97331 1.67294986 -1.14188440 95.852966 -65.425157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14186446--1.14188440) × R
    1.99399999998295e-05 × 6371000     		dl = 127.037739998914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14186446--1.14188440) × R
    1.99399999998295e-05 × 6371000     		dr = 127.037739998914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67290192-1.67294986) × cos(-1.14186446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415899668308591 × 6371000     		do = 127.026463958823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67290192-1.67294986) × cos(-1.14188440) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415881534580449 × 6371000     		du = 127.020925451486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14186446)-sin(-1.14188440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415899668308591-0.415881534580449)×R²
    abs(1.67294986-1.67290192)×1.81337281422445e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81337281422445e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81337281422445e-05×40589641000000     		ar = 16136.8031022736m²