Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100434 / 97329
↖ ↑ ↗
← S 65.422872°
E 95.850220°		 ← 127.03 m → S 65.422872°
E 95.852966°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
S 65.424014°
E 95.850220°		 ← 127.03 m →
16 138 m²		 S 65.424014°
E 95.852966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766254425048828 y=0.742565155029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766254425048828 × 217)
    floor (0.766254425048828 × 131072)
    floor (100434.5)     		tx = 100434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742565155029297 × 217)
    floor (0.742565155029297 × 131072)
    floor (97329.5)     		ty = 97329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100434 / 97329 ti = "17/100434/97329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100434/97329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100434 ÷ 217
    100434 ÷ 131072     		x = 0.766250610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97329 ÷ 217
    97329 ÷ 131072     		y = 0.742561340332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766250610351562 × 2 - 1) × π
    0.532501220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67290192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742561340332031 × 2 - 1) × π
    -0.485122680664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.52405784962045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67290192} λ = 1.67290192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52405784962045))-π/2
    2×atan(0.217826185242273)-π/2
    2×0.214475902362213-π/2
    0.428951804724425-1.57079632675     		φ = -1.14184452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67290192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.850220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14184452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.422872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100434 KachelY 97329 1.67290192 -1.14184452 95.850220 -65.422872
    Oben rechts KachelX + 1 100435 KachelY 97329 1.67294986 -1.14184452 95.852966 -65.422872
    Unten links KachelX 100434 KachelY + 1 97330 1.67290192 -1.14186446 95.850220 -65.424014
    Unten rechts KachelX + 1 100435 KachelY + 1 97330 1.67294986 -1.14186446 95.852966 -65.424014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14184452--1.14186446) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dl = 127.037740000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14184452--1.14186446) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dr = 127.037740000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67290192-1.67294986) × cos(-1.14184452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41591780187137 × 6371000     		do = 127.032002415653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67290192-1.67294986) × cos(-1.14186446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415899668308591 × 6371000     		du = 127.026463958823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14184452)-sin(-1.14186446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41591780187137-0.415899668308591)×R²
    abs(1.67294986-1.67290192)×1.81335627791879e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81335627791879e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81335627791879e-05×40589641000000     		ar = 16137.5066984868m²