Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100433 / 101808
↖ ↑ ↗
← S 70.065584°
E 95.847473°		 ← 104.11 m → S 70.065584°
E 95.850220°		 →
↑
104.17 m
↓
↑
104.17 m
↓
S 70.066521°
E 95.847473°		 ← 104.11 m →
10 845 m²		 S 70.066521°
E 95.850220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766246795654297 y=0.776737213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766246795654297 × 217)
    floor (0.766246795654297 × 131072)
    floor (100433.5)     		tx = 100433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776737213134766 × 217)
    floor (0.776737213134766 × 131072)
    floor (101808.5)     		ty = 101808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100433 / 101808 ti = "17/100433/101808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100433/101808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100433 ÷ 217
    100433 ÷ 131072     		x = 0.766242980957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101808 ÷ 217
    101808 ÷ 131072     		y = 0.7767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766242980957031 × 2 - 1) × π
    0.532485961914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.67285399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.553466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73876722301868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67285399} λ = 1.67285399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73876722301868))-π/2
    2×atan(0.17573691155406)-π/2
    2×0.173960591116688-π/2
    0.347921182233375-1.57079632675     		φ = -1.22287514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67285399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.847473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22287514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.065584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100433 KachelY 101808 1.67285399 -1.22287514 95.847473 -70.065584
    Oben rechts KachelX + 1 100434 KachelY 101808 1.67290192 -1.22287514 95.850220 -70.065584
    Unten links KachelX 100433 KachelY + 1 101809 1.67285399 -1.22289149 95.847473 -70.066521
    Unten rechts KachelX + 1 100434 KachelY + 1 101809 1.67290192 -1.22289149 95.850220 -70.066521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22287514--1.22289149) × R
    1.63500000001093e-05 × 6371000     		dl = 104.165850000697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22287514--1.22289149) × R
    1.63500000001093e-05 × 6371000     		dr = 104.165850000697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67285399-1.67290192) × cos(-1.22287514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340944287551892 × 6371000     		do = 104.111439763813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67285399-1.67290192) × cos(-1.22289149) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340928917141046 × 6371000     		du = 104.106746223955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22287514)-sin(-1.22289149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340944287551892-0.340928917141046)×R²
    abs(1.67290192-1.67285399)×1.53704108459829e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53704108459829e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53704108459829e-05×40589641000000     		ar = 10844.6121646954m²