Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100428 / 99412
↖ ↑ ↗
← S 67.696941°
E 95.833740°		 ← 115.91 m → S 67.696941°
E 95.836487°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
S 67.697983°
E 95.833740°		 ← 115.91 m →
13 432 m²		 S 67.697983°
E 95.836487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766208648681641 y=0.758457183837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766208648681641 × 217)
    floor (0.766208648681641 × 131072)
    floor (100428.5)     		tx = 100428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758457183837891 × 217)
    floor (0.758457183837891 × 131072)
    floor (99412.5)     		ty = 99412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100428 / 99412 ti = "17/100428/99412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100428/99412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100428 ÷ 217
    100428 ÷ 131072     		x = 0.766204833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99412 ÷ 217
    99412 ÷ 131072     		y = 0.758453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766204833984375 × 2 - 1) × π
    0.53240966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67261430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.51690673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62391041152902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67261430} λ = 1.67261430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62391041152902))-π/2
    2×atan(0.197126344824831)-π/2
    2×0.194630909095691-π/2
    0.389261818191382-1.57079632675     		φ = -1.18153451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67261430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.833740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18153451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.696941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100428 KachelY 99412 1.67261430 -1.18153451 95.833740 -67.696941
    Oben rechts KachelX + 1 100429 KachelY 99412 1.67266224 -1.18153451 95.836487 -67.696941
    Unten links KachelX 100428 KachelY + 1 99413 1.67261430 -1.18155270 95.833740 -67.697983
    Unten rechts KachelX + 1 100429 KachelY + 1 99413 1.67266224 -1.18155270 95.836487 -67.697983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18153451--1.18155270) × R
    1.8189999999807e-05 × 6371000     		dl = 115.88848999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18153451--1.18155270) × R
    1.8189999999807e-05 × 6371000     		dr = 115.88848999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67261430-1.67266224) × cos(-1.18153451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379505559265859 × 6371000     		do = 115.910766272813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67261430-1.67266224) × cos(-1.18155270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379488730006861 × 6371000     		du = 115.90562618393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18153451)-sin(-1.18155270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379505559265859-0.379488730006861)×R²
    abs(1.67266224-1.67261430)×1.68292589979857e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68292589979857e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68292589979857e-05×40589641000000     		ar = 13432.4258397684m²