Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100426 / 101806
↖ ↑ ↗
← S 70.063712°
E 95.828247°		 ← 104.12 m → S 70.063712°
E 95.830993°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
S 70.064648°
E 95.828247°		 ← 104.12 m →
10 839 m²		 S 70.064648°
E 95.830993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766193389892578 y=0.776721954345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766193389892578 × 217)
    floor (0.766193389892578 × 131072)
    floor (100426.5)     		tx = 100426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776721954345703 × 217)
    floor (0.776721954345703 × 131072)
    floor (101806.5)     		ty = 101806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100426 / 101806 ti = "17/100426/101806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100426/101806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100426 ÷ 217
    100426 ÷ 131072     		x = 0.766189575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101806 ÷ 217
    101806 ÷ 131072     		y = 0.776718139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766189575195312 × 2 - 1) × π
    0.532379150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67251843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776718139648438 × 2 - 1) × π
    -0.553436279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73867134921944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67251843} λ = 1.67251843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73867134921944))-π/2
    2×atan(0.175753760927131)-π/2
    2×0.173976935665118-π/2
    0.347953871330237-1.57079632675     		φ = -1.22284246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67251843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.828247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22284246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.063712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100426 KachelY 101806 1.67251843 -1.22284246 95.828247 -70.063712
    Oben rechts KachelX + 1 100427 KachelY 101806 1.67256636 -1.22284246 95.830993 -70.063712
    Unten links KachelX 100426 KachelY + 1 101807 1.67251843 -1.22285880 95.828247 -70.064648
    Unten rechts KachelX + 1 100427 KachelY + 1 101807 1.67256636 -1.22285880 95.830993 -70.064648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22284246--1.22285880) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dl = 104.102139999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22284246--1.22285880) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dr = 104.102139999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67251843-1.67256636) × cos(-1.22284246) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340975009298706 × 6371000     		do = 104.120821018785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67251843-1.67256636) × cos(-1.22285880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340959648470816 × 6371000     		du = 104.116130405199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22284246)-sin(-1.22285880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340975009298706-0.340959648470816)×R²
    abs(1.67256636-1.67251843)×1.5360827889721e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5360827889721e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5360827889721e-05×40589641000000     		ar = 10838.9561353808m²