Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100423 / 101807
↖ ↑ ↗
← S 70.064648°
E 95.820007°		 ← 104.12 m → S 70.064648°
E 95.822754°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
S 70.065584°
E 95.820007°		 ← 104.11 m →
10 838 m²		 S 70.065584°
E 95.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766170501708984 y=0.776729583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766170501708984 × 217)
    floor (0.766170501708984 × 131072)
    floor (100423.5)     		tx = 100423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776729583740234 × 217)
    floor (0.776729583740234 × 131072)
    floor (101807.5)     		ty = 101807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100423 / 101807 ti = "17/100423/101807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100423/101807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100423 ÷ 217
    100423 ÷ 131072     		x = 0.766166687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101807 ÷ 217
    101807 ÷ 131072     		y = 0.776725769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766166687011719 × 2 - 1) × π
    0.532333374023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.67237462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776725769042969 × 2 - 1) × π
    -0.553451538085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.73871928611906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67237462} λ = 1.67237462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73871928611906))-π/2
    2×atan(0.175745336038669)-π/2
    2×0.173968763206764-π/2
    0.347937526413527-1.57079632675     		φ = -1.22285880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67237462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.820007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22285880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.064648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100423 KachelY 101807 1.67237462 -1.22285880 95.820007 -70.064648
    Oben rechts KachelX + 1 100424 KachelY 101807 1.67242255 -1.22285880 95.822754 -70.064648
    Unten links KachelX 100423 KachelY + 1 101808 1.67237462 -1.22287514 95.820007 -70.065584
    Unten rechts KachelX + 1 100424 KachelY + 1 101808 1.67242255 -1.22287514 95.822754 -70.065584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22285880--1.22287514) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dl = 104.102139999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22285880--1.22287514) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dr = 104.102139999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67237462-1.67242255) × cos(-1.22285880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340959648470816 × 6371000     		do = 104.116130405199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67237462-1.67242255) × cos(-1.22287514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340944287551892 × 6371000     		du = 104.111439763813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22285880)-sin(-1.22287514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340959648470816-0.340944287551892)×R²
    abs(1.67242255-1.67237462)×1.53609189245119e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53609189245119e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53609189245119e-05×40589641000000     		ar = 10838.4678310285m²