Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100422 / 101814
↖ ↑ ↗
← S 70.071202°
E 95.817261°		 ← 104.11 m → S 70.071202°
E 95.820007°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
S 70.072138°
E 95.817261°		 ← 104.10 m →
10 837 m²		 S 70.072138°
E 95.820007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766162872314453 y=0.776782989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766162872314453 × 217)
    floor (0.766162872314453 × 131072)
    floor (100422.5)     		tx = 100422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776782989501953 × 217)
    floor (0.776782989501953 × 131072)
    floor (101814.5)     		ty = 101814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100422 / 101814 ti = "17/100422/101814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100422/101814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100422 ÷ 217
    100422 ÷ 131072     		x = 0.766159057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101814 ÷ 217
    101814 ÷ 131072     		y = 0.776779174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766159057617188 × 2 - 1) × π
    0.532318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67232668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776779174804688 × 2 - 1) × π
    -0.553558349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7390548444164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67232668} λ = 1.67232668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7390548444164))-π/2
    2×atan(0.175686373126243)-π/2
    2×0.173911566309279-π/2
    0.347823132618559-1.57079632675     		φ = -1.22297319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67232668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.817261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22297319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.071202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100422 KachelY 101814 1.67232668 -1.22297319 95.817261 -70.071202
    Oben rechts KachelX + 1 100423 KachelY 101814 1.67237462 -1.22297319 95.820007 -70.071202
    Unten links KachelX 100422 KachelY + 1 101815 1.67232668 -1.22298953 95.817261 -70.072138
    Unten rechts KachelX + 1 100423 KachelY + 1 101815 1.67237462 -1.22298953 95.820007 -70.072138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22297319--1.22298953) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dl = 104.102139999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22297319--1.22298953) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dr = 104.102139999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67232668-1.67237462) × cos(-1.22297319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340852110725676 × 6371000     		do = 104.105008148883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67232668-1.67237462) × cos(-1.22298953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340836749169567 × 6371000     		du = 104.100316334241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22297319)-sin(-1.22298953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340852110725676-0.340836749169567)×R²
    abs(1.67237462-1.67232668)×1.53615561084286e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53615561084286e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53615561084286e-05×40589641000000     		ar = 10837.3099192712m²