Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100420 / 99400
↖ ↑ ↗
← S 67.684429°
E 95.811768°		 ← 115.95 m → S 67.684429°
E 95.814514°		 →
↑
115.95 m
↓
↑
115.95 m
↓
S 67.685472°
E 95.811768°		 ← 115.94 m →
13 444 m²		 S 67.685472°
E 95.814514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766147613525391 y=0.758365631103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766147613525391 × 217)
    floor (0.766147613525391 × 131072)
    floor (100420.5)     		tx = 100420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758365631103516 × 217)
    floor (0.758365631103516 × 131072)
    floor (99400.5)     		ty = 99400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100420 / 99400 ti = "17/100420/99400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100420/99400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100420 ÷ 217
    100420 ÷ 131072     		x = 0.766143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99400 ÷ 217
    99400 ÷ 131072     		y = 0.75836181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766143798828125 × 2 - 1) × π
    0.53228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67223081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75836181640625 × 2 - 1) × π
    -0.5167236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62333516873358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67223081} λ = 1.67223081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62333516873358))-π/2
    2×atan(0.197239772955713)-π/2
    2×0.194740092066073-π/2
    0.389480184132146-1.57079632675     		φ = -1.18131614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67223081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.811768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18131614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.684429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100420 KachelY 99400 1.67223081 -1.18131614 95.811768 -67.684429
    Oben rechts KachelX + 1 100421 KachelY 99400 1.67227874 -1.18131614 95.814514 -67.684429
    Unten links KachelX 100420 KachelY + 1 99401 1.67223081 -1.18133434 95.811768 -67.685472
    Unten rechts KachelX + 1 100421 KachelY + 1 99401 1.67227874 -1.18133434 95.814514 -67.685472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18131614--1.18133434) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dl = 115.952199999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18131614--1.18133434) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dr = 115.952199999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67223081-1.67227874) × cos(-1.18131614) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379707583837429 × 6371000     		do = 115.948278607064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67223081-1.67227874) × cos(-1.18133434) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379690746835117 × 6371000     		du = 115.943137225858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18131614)-sin(-1.18133434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379707583837429-0.379690746835117)×R²
    abs(1.67227874-1.67223081)×1.68370023118647e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68370023118647e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68370023118647e-05×40589641000000     		ar = 13444.1599137786m²