Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100419 / 96961
↖ ↑ ↗
← S 64.999100°
E 95.809021°		 ← 129.08 m → S 64.999100°
E 95.811768°		 →
↑
129.08 m
↓
↑
129.08 m
↓
S 65.000261°
E 95.809021°		 ← 129.08 m →
16 661 m²		 S 65.000261°
E 95.811768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766139984130859 y=0.739757537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766139984130859 × 217)
    floor (0.766139984130859 × 131072)
    floor (100419.5)     		tx = 100419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739757537841797 × 217)
    floor (0.739757537841797 × 131072)
    floor (96961.5)     		ty = 96961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100419 / 96961 ti = "17/100419/96961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100419/96961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100419 ÷ 217
    100419 ÷ 131072     		x = 0.766136169433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96961 ÷ 217
    96961 ÷ 131072     		y = 0.739753723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766136169433594 × 2 - 1) × π
    0.532272338867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.67218287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739753723144531 × 2 - 1) × π
    -0.479507446289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.50641707056026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67218287} λ = 1.67218287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50641707056026))-π/2
    2×atan(0.221702902470972)-π/2
    2×0.218174010309787-π/2
    0.436348020619574-1.57079632675     		φ = -1.13444831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67218287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.809021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13444831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.999100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100419 KachelY 96961 1.67218287 -1.13444831 95.809021 -64.999100
    Oben rechts KachelX + 1 100420 KachelY 96961 1.67223081 -1.13444831 95.811768 -64.999100
    Unten links KachelX 100419 KachelY + 1 96962 1.67218287 -1.13446857 95.809021 -65.000261
    Unten rechts KachelX + 1 100420 KachelY + 1 96962 1.67223081 -1.13446857 95.811768 -65.000261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13444831--1.13446857) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dl = 129.076459999256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13444831--1.13446857) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dr = 129.076459999256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67218287-1.67223081) × cos(-1.13444831) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422632494161474 × 6371000     		do = 129.082842277229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67218287-1.67223081) × cos(-1.13446857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422614132413433 × 6371000     		du = 129.077234126746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13444831)-sin(-1.13446857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422632494161474-0.422614132413433)×R²
    abs(1.67223081-1.67218287)×1.83617480404852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83617480404852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83617480404852e-05×40589641000000     		ar = 16661.1943880748m²