Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100418 / 96958
↖ ↑ ↗
← S 64.995617°
E 95.806274°		 ← 129.10 m → S 64.995617°
E 95.809021°		 →
↑
129.08 m
↓
↑
129.08 m
↓
S 64.996778°
E 95.806274°		 ← 129.09 m →
16 663 m²		 S 64.996778°
E 95.809021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766132354736328 y=0.739734649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766132354736328 × 217)
    floor (0.766132354736328 × 131072)
    floor (100418.5)     		tx = 100418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739734649658203 × 217)
    floor (0.739734649658203 × 131072)
    floor (96958.5)     		ty = 96958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100418 / 96958 ti = "17/100418/96958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100418/96958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100418 ÷ 217
    100418 ÷ 131072     		x = 0.766128540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96958 ÷ 217
    96958 ÷ 131072     		y = 0.739730834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766128540039062 × 2 - 1) × π
    0.532257080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67213493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739730834960938 × 2 - 1) × π
    -0.479461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5062732598614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67213493} λ = 1.67213493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5062732598614))-π/2
    2×atan(0.221734788013002)-π/2
    2×0.218204401827699-π/2
    0.436408803655398-1.57079632675     		φ = -1.13438752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67213493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.806274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13438752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.995617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100418 KachelY 96958 1.67213493 -1.13438752 95.806274 -64.995617
    Oben rechts KachelX + 1 100419 KachelY 96958 1.67218287 -1.13438752 95.809021 -64.995617
    Unten links KachelX 100418 KachelY + 1 96959 1.67213493 -1.13440778 95.806274 -64.996778
    Unten rechts KachelX + 1 100419 KachelY + 1 96959 1.67218287 -1.13440778 95.809021 -64.996778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13438752--1.13440778) × R
    2.02600000001052e-05 × 6371000     		dl = 129.07646000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13438752--1.13440778) × R
    2.02600000001052e-05 × 6371000     		dr = 129.07646000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67213493-1.67218287) × cos(-1.13438752) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.422687587427458 × 6371000     		do = 129.099669179359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67213493-1.67218287) × cos(-1.13440778) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.422669226199957 × 6371000     		du = 129.094061187862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13438752)-sin(-1.13440778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422687587427458-0.422669226199957)×R²
    abs(1.67218287-1.67213493)×1.83612275015399e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.83612275015399e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.83612275015399e-05×40589641000000     		ar = 16663.3663556521m²