Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100417 / 101563
↖ ↑ ↗
← S 69.834888°
E 95.803528°		 ← 105.27 m → S 69.834888°
E 95.806274°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
S 69.835835°
E 95.803528°		 ← 105.26 m →
11 086 m²		 S 69.835835°
E 95.806274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766124725341797 y=0.774868011474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766124725341797 × 217)
    floor (0.766124725341797 × 131072)
    floor (100417.5)     		tx = 100417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774868011474609 × 217)
    floor (0.774868011474609 × 131072)
    floor (101563.5)     		ty = 101563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100417 / 101563 ti = "17/100417/101563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100417/101563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100417 ÷ 217
    100417 ÷ 131072     		x = 0.766120910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101563 ÷ 217
    101563 ÷ 131072     		y = 0.774864196777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766120910644531 × 2 - 1) × π
    0.532241821289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.67208700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774864196777344 × 2 - 1) × π
    -0.549728393554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.72702268261176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67208700} λ = 1.67208700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72702268261176))-π/2
    2×atan(0.177813028468377)-π/2
    2×0.175973795971821-π/2
    0.351947591943642-1.57079632675     		φ = -1.21884873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67208700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.803528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21884873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.834888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100417 KachelY 101563 1.67208700 -1.21884873 95.803528 -69.834888
    Oben rechts KachelX + 1 100418 KachelY 101563 1.67213493 -1.21884873 95.806274 -69.834888
    Unten links KachelX 100417 KachelY + 1 101564 1.67208700 -1.21886526 95.803528 -69.835835
    Unten rechts KachelX + 1 100418 KachelY + 1 101564 1.67213493 -1.21886526 95.806274 -69.835835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21884873--1.21886526) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dl = 105.3126300008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21884873--1.21886526) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dr = 105.3126300008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67208700-1.67213493) × cos(-1.21884873) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.344726675255269 × 6371000     		do = 105.266437350676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67208700-1.67213493) × cos(-1.21886526) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.344711158445847 × 6371000     		du = 105.261699106252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21884873)-sin(-1.21886526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344726675255269-0.344711158445847)×R²
    abs(1.67213493-1.67208700)×1.55168094220226e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.55168094220226e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.55168094220226e-05×40589641000000     		ar = 11085.6358701082m²