Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100416 / 101823
↖ ↑ ↗
← S 70.079626°
E 95.800781°		 ← 104.06 m → S 70.079626°
E 95.803528°		 →
↑
104.04 m
↓
↑
104.04 m
↓
S 70.080562°
E 95.800781°		 ← 104.06 m →
10 826 m²		 S 70.080562°
E 95.803528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766117095947266 y=0.776851654052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766117095947266 × 217)
    floor (0.766117095947266 × 131072)
    floor (100416.5)     		tx = 100416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776851654052734 × 217)
    floor (0.776851654052734 × 131072)
    floor (101823.5)     		ty = 101823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100416 / 101823 ti = "17/100416/101823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100416/101823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100416 ÷ 217
    100416 ÷ 131072     		x = 0.76611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101823 ÷ 217
    101823 ÷ 131072     		y = 0.776847839355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76611328125 × 2 - 1) × π
    0.5322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67203906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776847839355469 × 2 - 1) × π
    -0.553695678710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.73948627651298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67203906} λ = 1.67203906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73948627651298))-π/2
    2×atan(0.175610592734166)-π/2
    2×0.173838053949204-π/2
    0.347676107898408-1.57079632675     		φ = -1.22312022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67203906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22312022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.079626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100416 KachelY 101823 1.67203906 -1.22312022 95.800781 -70.079626
    Oben rechts KachelX + 1 100417 KachelY 101823 1.67208700 -1.22312022 95.803528 -70.079626
    Unten links KachelX 100416 KachelY + 1 101824 1.67203906 -1.22313655 95.800781 -70.080562
    Unten rechts KachelX + 1 100417 KachelY + 1 101824 1.67208700 -1.22313655 95.803528 -70.080562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22312022--1.22313655) × R
    1.63300000000088e-05 × 6371000     		dl = 104.038430000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22312022--1.22313655) × R
    1.63300000000088e-05 × 6371000     		dr = 104.038430000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67203906-1.67208700) × cos(-1.22312022) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.340713881649986 × 6371000     		do = 104.062789431633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67203906-1.67208700) × cos(-1.22313655) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.340698528676901 × 6371000     		du = 104.058100238468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22312022)-sin(-1.22313655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340713881649986-0.340698528676901)×R²
    abs(1.67208700-1.67203906)×1.53529730850255e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.53529730850255e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.53529730850255e-05×40589641000000     		ar = 10826.2853061231m²