Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100414 / 98158
↖ ↑ ↗
← S 66.352933°
E 95.795288°		 ← 122.51 m → S 66.352933°
E 95.798035°		 →
↑
122.51 m
↓
↑
122.51 m
↓
S 66.354035°
E 95.795288°		 ← 122.50 m →
15 009 m²		 S 66.354035°
E 95.798035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766101837158203 y=0.748889923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766101837158203 × 217)
    floor (0.766101837158203 × 131072)
    floor (100414.5)     		tx = 100414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748889923095703 × 217)
    floor (0.748889923095703 × 131072)
    floor (98158.5)     		ty = 98158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100414 / 98158 ti = "17/100414/98158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100414/98158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100414 ÷ 217
    100414 ÷ 131072     		x = 0.766098022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98158 ÷ 217
    98158 ÷ 131072     		y = 0.748886108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766098022460938 × 2 - 1) × π
    0.532196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67194318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748886108398438 × 2 - 1) × π
    -0.497772216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56379753940547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67194318} λ = 1.67194318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56379753940547))-π/2
    2×atan(0.209339584491898)-π/2
    2×0.206359588957592-π/2
    0.412719177915184-1.57079632675     		φ = -1.15807715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67194318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.795288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15807715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.352933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100414 KachelY 98158 1.67194318 -1.15807715 95.795288 -66.352933
    Oben rechts KachelX + 1 100415 KachelY 98158 1.67199112 -1.15807715 95.798035 -66.352933
    Unten links KachelX 100414 KachelY + 1 98159 1.67194318 -1.15809638 95.795288 -66.354035
    Unten rechts KachelX + 1 100415 KachelY + 1 98159 1.67199112 -1.15809638 95.798035 -66.354035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15807715--1.15809638) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dl = 122.514329999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15807715--1.15809638) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dr = 122.514329999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67194318-1.67199112) × cos(-1.15807715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401101664928446 × 6371000     		do = 122.506772825922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67194318-1.67199112) × cos(-1.15809638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401084049529227 × 6371000     		du = 122.50139262958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15807715)-sin(-1.15809638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401101664928446-0.401084049529227)×R²
    abs(1.67199112-1.67194318)×1.76153992191841e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76153992191841e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76153992191841e-05×40589641000000     		ar = 15008.5056180783m²