Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100410 / 99434
↖ ↑ ↗
← S 67.719861°
E 95.784302°		 ← 115.77 m → S 67.719861°
E 95.787048°		 →
↑
115.82 m
↓
↑
115.82 m
↓
S 67.720902°
E 95.784302°		 ← 115.77 m →
13 409 m²		 S 67.720902°
E 95.787048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766071319580078 y=0.758625030517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766071319580078 × 217)
    floor (0.766071319580078 × 131072)
    floor (100410.5)     		tx = 100410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758625030517578 × 217)
    floor (0.758625030517578 × 131072)
    floor (99434.5)     		ty = 99434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100410 / 99434 ti = "17/100410/99434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100410/99434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100410 ÷ 217
    100410 ÷ 131072     		x = 0.766067504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99434 ÷ 217
    99434 ÷ 131072     		y = 0.758621215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766067504882812 × 2 - 1) × π
    0.532135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67175144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758621215820312 × 2 - 1) × π
    -0.517242431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62496502332066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67175144} λ = 1.67175144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62496502332066))-π/2
    2×atan(0.196918562641164)-π/2
    2×0.194430891177632-π/2
    0.388861782355263-1.57079632675     		φ = -1.18193454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67175144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.784302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18193454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.719861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100410 KachelY 99434 1.67175144 -1.18193454 95.784302 -67.719861
    Oben rechts KachelX + 1 100411 KachelY 99434 1.67179937 -1.18193454 95.787048 -67.719861
    Unten links KachelX 100410 KachelY + 1 99435 1.67175144 -1.18195272 95.784302 -67.720902
    Unten rechts KachelX + 1 100411 KachelY + 1 99435 1.67179937 -1.18195272 95.787048 -67.720902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18193454--1.18195272) × R
    1.81799999998677e-05 × 6371000     		dl = 115.824779999157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18193454--1.18195272) × R
    1.81799999998677e-05 × 6371000     		dr = 115.824779999157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67175144-1.67179937) × cos(-1.18193454) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379135425372433 × 6371000     		do = 115.77356313671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67175144-1.67179937) × cos(-1.18195272) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379118602606834 × 6371000     		du = 115.768426102857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18193454)-sin(-1.18195272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379135425372433-0.379118602606834)×R²
    abs(1.67179937-1.67175144)×1.6822765598834e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6822765598834e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6822765598834e-05×40589641000000     		ar = 13409.1499824579m²