Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100405 / 99422
↖ ↑ ↗
← S 67.707362°
E 95.770569°		 ← 115.86 m → S 67.707362°
E 95.773315°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
S 67.708404°
E 95.770569°		 ← 115.85 m →
13 426 m²		 S 67.708404°
E 95.773315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766033172607422 y=0.758533477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766033172607422 × 217)
    floor (0.766033172607422 × 131072)
    floor (100405.5)     		tx = 100405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758533477783203 × 217)
    floor (0.758533477783203 × 131072)
    floor (99422.5)     		ty = 99422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100405 / 99422 ti = "17/100405/99422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100405/99422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100405 ÷ 217
    100405 ÷ 131072     		x = 0.766029357910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99422 ÷ 217
    99422 ÷ 131072     		y = 0.758529663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766029357910156 × 2 - 1) × π
    0.532058715820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.67151175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758529663085938 × 2 - 1) × π
    -0.517059326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62438978052522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67151175} λ = 1.67151175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62438978052522))-π/2
    2×atan(0.197031871212457)-π/2
    2×0.194539967664462-π/2
    0.389079935328923-1.57079632675     		φ = -1.18171639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67151175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.770569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18171639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.707362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100405 KachelY 99422 1.67151175 -1.18171639 95.770569 -67.707362
    Oben rechts KachelX + 1 100406 KachelY 99422 1.67155969 -1.18171639 95.773315 -67.707362
    Unten links KachelX 100405 KachelY + 1 99423 1.67151175 -1.18173458 95.770569 -67.708404
    Unten rechts KachelX + 1 100406 KachelY + 1 99423 1.67155969 -1.18173458 95.773315 -67.708404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18171639--1.18173458) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18171639--1.18173458) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67151175-1.67155969) × cos(-1.18171639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379337279531346 × 6371000     		do = 115.859369310372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67151175-1.67155969) × cos(-1.18173458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379320449017099 × 6371000     		du = 115.854228838104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18171639)-sin(-1.18173458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379337279531346-0.379320449017099)×R²
    abs(1.67155969-1.67151175)×1.68305142471126e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68305142471126e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68305142471126e-05×40589641000000     		ar = 13426.4695012173m²