Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100404 / 99420
↖ ↑ ↗
← S 67.705278°
E 95.767822°		 ← 115.85 m → S 67.705278°
E 95.770569°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
S 67.706320°
E 95.767822°		 ← 115.84 m →
13 425 m²		 S 67.706320°
E 95.770569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766025543212891 y=0.758518218994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766025543212891 × 217)
    floor (0.766025543212891 × 131072)
    floor (100404.5)     		tx = 100404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758518218994141 × 217)
    floor (0.758518218994141 × 131072)
    floor (99420.5)     		ty = 99420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100404 / 99420 ti = "17/100404/99420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100404/99420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100404 ÷ 217
    100404 ÷ 131072     		x = 0.766021728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99420 ÷ 217
    99420 ÷ 131072     		y = 0.758514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766021728515625 × 2 - 1) × π
    0.53204345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67146382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758514404296875 × 2 - 1) × π
    -0.51702880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62429390672598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67146382} λ = 1.67146382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62429390672598))-π/2
    2×atan(0.197050762312088)-π/2
    2×0.194558152724052-π/2
    0.389116305448104-1.57079632675     		φ = -1.18168002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67146382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.767822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18168002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.705278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100404 KachelY 99420 1.67146382 -1.18168002 95.767822 -67.705278
    Oben rechts KachelX + 1 100405 KachelY 99420 1.67151175 -1.18168002 95.770569 -67.705278
    Unten links KachelX 100404 KachelY + 1 99421 1.67146382 -1.18169821 95.767822 -67.706320
    Unten rechts KachelX + 1 100405 KachelY + 1 99421 1.67151175 -1.18169821 95.770569 -67.706320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18168002--1.18169821) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18168002--1.18169821) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67146382-1.67151175) × cos(-1.18168002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379370930930848 × 6371000     		do = 115.845477592104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67146382-1.67151175) × cos(-1.18169821) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379354100667564 × 6371000     		du = 115.840338268743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18168002)-sin(-1.18169821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379370930930848-0.379354100667564)×R²
    abs(1.67151175-1.67146382)×1.68302632832518e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68302632832518e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68302632832518e-05×40589641000000     		ar = 13424.8596777583m²