Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100393 / 98729
↖ ↑ ↗
← S 66.974147°
E 95.737610°		 ← 119.47 m → S 66.974147°
E 95.740357°		 →
↑
119.46 m
↓
↑
119.46 m
↓
S 66.975221°
E 95.737610°		 ← 119.46 m →
14 271 m²		 S 66.975221°
E 95.740357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765941619873047 y=0.753246307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765941619873047 × 217)
    floor (0.765941619873047 × 131072)
    floor (100393.5)     		tx = 100393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753246307373047 × 217)
    floor (0.753246307373047 × 131072)
    floor (98729.5)     		ty = 98729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100393 / 98729 ti = "17/100393/98729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100393/98729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100393 ÷ 217
    100393 ÷ 131072     		x = 0.765937805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98729 ÷ 217
    98729 ÷ 131072     		y = 0.753242492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765937805175781 × 2 - 1) × π
    0.531875610351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.67093651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753242492675781 × 2 - 1) × π
    -0.506484985351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.59116950908852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67093651} λ = 1.67093651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59116950908852))-π/2
    2×atan(0.203687258283338)-π/2
    2×0.200938473434548-π/2
    0.401876946869095-1.57079632675     		φ = -1.16891938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67093651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.737610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16891938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.974147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100393 KachelY 98729 1.67093651 -1.16891938 95.737610 -66.974147
    Oben rechts KachelX + 1 100394 KachelY 98729 1.67098445 -1.16891938 95.740357 -66.974147
    Unten links KachelX 100393 KachelY + 1 98730 1.67093651 -1.16893813 95.737610 -66.975221
    Unten rechts KachelX + 1 100394 KachelY + 1 98730 1.67098445 -1.16893813 95.740357 -66.975221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16891938--1.16893813) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dl = 119.456249999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16891938--1.16893813) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dr = 119.456249999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67093651-1.67098445) × cos(-1.16891938) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391146437827749 × 6371000     		do = 119.466190221826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67093651-1.67098445) × cos(-1.16893813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391129181600471 × 6371000     		du = 119.46091972584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16891938)-sin(-1.16893813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391146437827749-0.391129181600471)×R²
    abs(1.67098445-1.67093651)×1.72562272771626e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72562272771626e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72562272771626e-05×40589641000000     		ar = 14270.6682892833m²