Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100391 / 98779
↖ ↑ ↗
← S 67.027803°
E 95.732117°		 ← 119.18 m → S 67.027803°
E 95.734863°		 →
↑
119.20 m
↓
↑
119.20 m
↓
S 67.028875°
E 95.732117°		 ← 119.17 m →
14 206 m²		 S 67.028875°
E 95.734863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765926361083984 y=0.753627777099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765926361083984 × 217)
    floor (0.765926361083984 × 131072)
    floor (100391.5)     		tx = 100391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753627777099609 × 217)
    floor (0.753627777099609 × 131072)
    floor (98779.5)     		ty = 98779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100391 / 98779 ti = "17/100391/98779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100391/98779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100391 ÷ 217
    100391 ÷ 131072     		x = 0.765922546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98779 ÷ 217
    98779 ÷ 131072     		y = 0.753623962402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765922546386719 × 2 - 1) × π
    0.531845092773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.67084064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753623962402344 × 2 - 1) × π
    -0.507247924804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.59356635406953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67084064} λ = 1.67084064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59356635406953))-π/2
    2×atan(0.203199636111449)-π/2
    2×0.200470231448619-π/2
    0.400940462897238-1.57079632675     		φ = -1.16985586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67084064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.732117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16985586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.027803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100391 KachelY 98779 1.67084064 -1.16985586 95.732117 -67.027803
    Oben rechts KachelX + 1 100392 KachelY 98779 1.67088857 -1.16985586 95.734863 -67.027803
    Unten links KachelX 100391 KachelY + 1 98780 1.67084064 -1.16987457 95.732117 -67.028875
    Unten rechts KachelX + 1 100392 KachelY + 1 98780 1.67088857 -1.16987457 95.734863 -67.028875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16985586--1.16987457) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dl = 119.201409999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16985586--1.16987457) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dr = 119.201409999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67084064-1.67088857) × cos(-1.16985586) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390284397245966 × 6371000     		do = 119.178035820428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67084064-1.67088857) × cos(-1.16987457) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390267170986335 × 6371000     		du = 119.172775574817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16985586)-sin(-1.16987457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390284397245966-0.390267170986335)×R²
    abs(1.67088857-1.67084064)×1.72262596316863e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72262596316863e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72262596316863e-05×40589641000000     		ar = 14205.8763969489m²