Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100390 / 98795
↖ ↑ ↗
← S 67.044949°
E 95.729370°		 ← 119.12 m → S 67.044949°
E 95.732117°		 →
↑
119.14 m
↓
↑
119.14 m
↓
S 67.046020°
E 95.729370°		 ← 119.11 m →
14 191 m²		 S 67.046020°
E 95.732117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765918731689453 y=0.753749847412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765918731689453 × 217)
    floor (0.765918731689453 × 131072)
    floor (100390.5)     		tx = 100390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753749847412109 × 217)
    floor (0.753749847412109 × 131072)
    floor (98795.5)     		ty = 98795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100390 / 98795 ti = "17/100390/98795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100390/98795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100390 ÷ 217
    100390 ÷ 131072     		x = 0.765914916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98795 ÷ 217
    98795 ÷ 131072     		y = 0.753746032714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765914916992188 × 2 - 1) × π
    0.531829833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67079270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753746032714844 × 2 - 1) × π
    -0.507492065429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.59433334446345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67079270} λ = 1.67079270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59433334446345))-π/2
    2×atan(0.203043843695784)-π/2
    2×0.200320612094535-π/2
    0.40064122418907-1.57079632675     		φ = -1.17015510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67079270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.729370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17015510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.044949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100390 KachelY 98795 1.67079270 -1.17015510 95.729370 -67.044949
    Oben rechts KachelX + 1 100391 KachelY 98795 1.67084064 -1.17015510 95.732117 -67.044949
    Unten links KachelX 100390 KachelY + 1 98796 1.67079270 -1.17017380 95.729370 -67.046020
    Unten rechts KachelX + 1 100391 KachelY + 1 98796 1.67084064 -1.17017380 95.732117 -67.046020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17015510--1.17017380) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dl = 119.137700000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17015510--1.17017380) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dr = 119.137700000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67079270-1.67084064) × cos(-1.17015510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390008871198348 × 6371000     		do = 119.118748092242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67079270-1.67084064) × cos(-1.17017380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389991651962603 × 6371000     		du = 119.113488894422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17015510)-sin(-1.17017380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390008871198348-0.389991651962603)×R²
    abs(1.67084064-1.67079270)×1.72192357449363e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72192357449363e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72192357449363e-05×40589641000000     		ar = 14191.2203906474m²