Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100388 / 98796
↖ ↑ ↗
← S 67.046020°
E 95.723877°		 ← 119.09 m → S 67.046020°
E 95.726623°		 →
↑
119.07 m
↓
↑
119.07 m
↓
S 67.047091°
E 95.723877°		 ← 119.08 m →
14 180 m²		 S 67.047091°
E 95.726623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765903472900391 y=0.753757476806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765903472900391 × 217)
    floor (0.765903472900391 × 131072)
    floor (100388.5)     		tx = 100388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753757476806641 × 217)
    floor (0.753757476806641 × 131072)
    floor (98796.5)     		ty = 98796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100388 / 98796 ti = "17/100388/98796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100388/98796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100388 ÷ 217
    100388 ÷ 131072     		x = 0.765899658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98796 ÷ 217
    98796 ÷ 131072     		y = 0.753753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765899658203125 × 2 - 1) × π
    0.53179931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67069683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.50750732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59438128136307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67069683} λ = 1.67069683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59438128136307))-π/2
    2×atan(0.203034110636718)-π/2
    2×0.200311264392847-π/2
    0.400622528785694-1.57079632675     		φ = -1.17017380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67069683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.723877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17017380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.046020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100388 KachelY 98796 1.67069683 -1.17017380 95.723877 -67.046020
    Oben rechts KachelX + 1 100389 KachelY 98796 1.67074476 -1.17017380 95.726623 -67.046020
    Unten links KachelX 100388 KachelY + 1 98797 1.67069683 -1.17019249 95.723877 -67.047091
    Unten rechts KachelX + 1 100389 KachelY + 1 98797 1.67074476 -1.17019249 95.726623 -67.047091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17017380--1.17019249) × R
    1.86900000000989e-05 × 6371000     		dl = 119.07399000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17017380--1.17019249) × R
    1.86900000000989e-05 × 6371000     		dr = 119.07399000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67069683-1.67074476) × cos(-1.17017380) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389991651962603 × 6371000     		do = 119.088642526427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67069683-1.67074476) × cos(-1.17019249) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389974441798738 × 6371000     		du = 119.083387195852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17017380)-sin(-1.17019249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389991651962603-0.389974441798738)×R²
    abs(1.67074476-1.67069683)×1.72101638643563e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72101638643563e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72101638643563e-05×40589641000000     		ar = 14180.0469432727m²