Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100383 / 99558
↖ ↑ ↗
← S 67.848631°
E 95.710144°		 ← 115.16 m → S 67.848631°
E 95.712891°		 →
↑
115.19 m
↓
↑
115.19 m
↓
S 67.849667°
E 95.710144°		 ← 115.16 m →
13 265 m²		 S 67.849667°
E 95.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765865325927734 y=0.759571075439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765865325927734 × 217)
    floor (0.765865325927734 × 131072)
    floor (100383.5)     		tx = 100383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759571075439453 × 217)
    floor (0.759571075439453 × 131072)
    floor (99558.5)     		ty = 99558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100383 / 99558 ti = "17/100383/99558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100383/99558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100383 ÷ 217
    100383 ÷ 131072     		x = 0.765861511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99558 ÷ 217
    99558 ÷ 131072     		y = 0.759567260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765861511230469 × 2 - 1) × π
    0.531723022460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.67045714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759567260742188 × 2 - 1) × π
    -0.519134521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63090919887355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67045714} λ = 1.67045714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63090919887355))-π/2
    2×atan(0.195751516136146)-π/2
    2×0.193307161685055-π/2
    0.38661432337011-1.57079632675     		φ = -1.18418200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67045714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.710144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18418200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.848631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100383 KachelY 99558 1.67045714 -1.18418200 95.710144 -67.848631
    Oben rechts KachelX + 1 100384 KachelY 99558 1.67050508 -1.18418200 95.712891 -67.848631
    Unten links KachelX 100383 KachelY + 1 99559 1.67045714 -1.18420008 95.710144 -67.849667
    Unten rechts KachelX + 1 100384 KachelY + 1 99559 1.67050508 -1.18420008 95.712891 -67.849667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18418200--1.18420008) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dl = 115.1876800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18418200--1.18420008) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dr = 115.1876800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67045714-1.67050508) × cos(-1.18418200) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.377054802277965 × 6371000     		do = 115.162242006759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67045714-1.67050508) × cos(-1.18420008) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.377038056683961 × 6371000     		du = 115.157127471319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18418200)-sin(-1.18420008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377054802277965-0.377038056683961)×R²
    abs(1.67050508-1.67045714)×1.67455940042749e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.67455940042749e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.67455940042749e-05×40589641000000     		ar = 13264.9769151147m²