Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100382 / 97430
↖ ↑ ↗
← S 65.537996°
E 95.707397°		 ← 126.47 m → S 65.537996°
E 95.710144°		 →
↑
126.46 m
↓
↑
126.46 m
↓
S 65.539133°
E 95.707397°		 ← 126.47 m →
15 994 m²		 S 65.539133°
E 95.710144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765857696533203 y=0.743335723876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765857696533203 × 217)
    floor (0.765857696533203 × 131072)
    floor (100382.5)     		tx = 100382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743335723876953 × 217)
    floor (0.743335723876953 × 131072)
    floor (97430.5)     		ty = 97430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100382 / 97430 ti = "17/100382/97430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100382/97430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100382 ÷ 217
    100382 ÷ 131072     		x = 0.765853881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97430 ÷ 217
    97430 ÷ 131072     		y = 0.743331909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765853881835938 × 2 - 1) × π
    0.531707763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67040920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743331909179688 × 2 - 1) × π
    -0.486663818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52889947648207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67040920} λ = 1.67040920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52889947648207))-π/2
    2×atan(0.21677410108728)-π/2
    2×0.213471256987002-π/2
    0.426942513974004-1.57079632675     		φ = -1.14385381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67040920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.707397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14385381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.537996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100382 KachelY 97430 1.67040920 -1.14385381 95.707397 -65.537996
    Oben rechts KachelX + 1 100383 KachelY 97430 1.67045714 -1.14385381 95.710144 -65.537996
    Unten links KachelX 100382 KachelY + 1 97431 1.67040920 -1.14387366 95.707397 -65.539133
    Unten rechts KachelX + 1 100383 KachelY + 1 97431 1.67045714 -1.14387366 95.710144 -65.539133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14385381--1.14387366) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dl = 126.464349999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14385381--1.14387366) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dr = 126.464349999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67040920-1.67045714) × cos(-1.14385381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41408971075053 × 6371000     		do = 126.473656332284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67040920-1.67045714) × cos(-1.14387366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414071642482871 × 6371000     		du = 126.468137818263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14385381)-sin(-1.14387366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41408971075053-0.414071642482871)×R²
    abs(1.67045714-1.67040920)×1.80682676593213e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80682676593213e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80682676593213e-05×40589641000000     		ar = 15994.0597929263m²