Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100381 / 97429
↖ ↑ ↗
← S 65.536858°
E 95.704651°		 ← 126.45 m → S 65.536858°
E 95.707397°		 →
↑
126.46 m
↓
↑
126.46 m
↓
S 65.537996°
E 95.704651°		 ← 126.45 m →
15 991 m²		 S 65.537996°
E 95.707397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765850067138672 y=0.743328094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765850067138672 × 217)
    floor (0.765850067138672 × 131072)
    floor (100381.5)     		tx = 100381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743328094482422 × 217)
    floor (0.743328094482422 × 131072)
    floor (97429.5)     		ty = 97429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100381 / 97429 ti = "17/100381/97429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100381/97429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100381 ÷ 217
    100381 ÷ 131072     		x = 0.765846252441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97429 ÷ 217
    97429 ÷ 131072     		y = 0.743324279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765846252441406 × 2 - 1) × π
    0.531692504882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.67036127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743324279785156 × 2 - 1) × π
    -0.486648559570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.52885153958245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67036127} λ = 1.67036127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52885153958245))-π/2
    2×atan(0.216784492814676)-π/2
    2×0.213481182291927-π/2
    0.426962364583854-1.57079632675     		φ = -1.14383396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67036127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.704651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14383396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.536858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100381 KachelY 97429 1.67036127 -1.14383396 95.704651 -65.536858
    Oben rechts KachelX + 1 100382 KachelY 97429 1.67040920 -1.14383396 95.707397 -65.536858
    Unten links KachelX 100381 KachelY + 1 97430 1.67036127 -1.14385381 95.704651 -65.537996
    Unten rechts KachelX + 1 100382 KachelY + 1 97430 1.67040920 -1.14385381 95.707397 -65.537996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14383396--1.14385381) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dl = 126.464349999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14383396--1.14385381) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dr = 126.464349999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67036127-1.67040920) × cos(-1.14383396) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414107778855029 × 6371000     		do = 126.45279199004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67036127-1.67040920) × cos(-1.14385381) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41408971075053 × 6371000     		du = 126.447274676972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14383396)-sin(-1.14385381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414107778855029-0.41408971075053)×R²
    abs(1.67040920-1.67036127)×1.80681044986697e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80681044986697e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80681044986697e-05×40589641000000     		ar = 15991.4212734972m²