Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100365 / 98776
↖ ↑ ↗
← S 67.024587°
E 95.660706°		 ← 119.19 m → S 67.024587°
E 95.663452°		 →
↑
119.20 m
↓
↑
119.20 m
↓
S 67.025659°
E 95.660706°		 ← 119.19 m →
14 208 m²		 S 67.025659°
E 95.663452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765727996826172 y=0.753604888916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765727996826172 × 217)
    floor (0.765727996826172 × 131072)
    floor (100365.5)     		tx = 100365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753604888916016 × 217)
    floor (0.753604888916016 × 131072)
    floor (98776.5)     		ty = 98776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100365 / 98776 ti = "17/100365/98776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100365/98776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100365 ÷ 217
    100365 ÷ 131072     		x = 0.765724182128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98776 ÷ 217
    98776 ÷ 131072     		y = 0.75360107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765724182128906 × 2 - 1) × π
    0.531448364257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.66959428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75360107421875 × 2 - 1) × π
    -0.5072021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59342254337067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66959428} λ = 1.66959428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59342254337067))-π/2
    2×atan(0.203228860494465)-π/2
    2×0.200498296842275-π/2
    0.400996593684551-1.57079632675     		φ = -1.16979973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66959428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.660706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16979973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.024587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100365 KachelY 98776 1.66959428 -1.16979973 95.660706 -67.024587
    Oben rechts KachelX + 1 100366 KachelY 98776 1.66964221 -1.16979973 95.663452 -67.024587
    Unten links KachelX 100365 KachelY + 1 98777 1.66959428 -1.16981844 95.660706 -67.025659
    Unten rechts KachelX + 1 100366 KachelY + 1 98777 1.66964221 -1.16981844 95.663452 -67.025659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16979973--1.16981844) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dl = 119.201409999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16979973--1.16981844) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dr = 119.201409999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66959428-1.66964221) × cos(-1.16979973) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.39033607520509 × 6371000     		do = 119.19381630638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66959428-1.66964221) × cos(-1.16981844) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.39031884935535 × 6371000     		du = 119.188556185935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16979973)-sin(-1.16981844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39033607520509-0.39031884935535)×R²
    abs(1.66964221-1.66959428)×1.72258497398992e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.72258497398992e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.72258497398992e-05×40589641000000     		ar = 14207.7574605857m²