Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100362 / 98769
↖ ↑ ↗
← S 67.017082°
E 95.652466°		 ← 119.23 m → S 67.017082°
E 95.655212°		 →
↑
119.27 m
↓
↑
119.27 m
↓
S 67.018154°
E 95.652466°		 ← 119.23 m →
14 220 m²		 S 67.018154°
E 95.655212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765705108642578 y=0.753551483154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765705108642578 × 217)
    floor (0.765705108642578 × 131072)
    floor (100362.5)     		tx = 100362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753551483154297 × 217)
    floor (0.753551483154297 × 131072)
    floor (98769.5)     		ty = 98769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100362 / 98769 ti = "17/100362/98769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100362/98769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100362 ÷ 217
    100362 ÷ 131072     		x = 0.765701293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98769 ÷ 217
    98769 ÷ 131072     		y = 0.753547668457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765701293945312 × 2 - 1) × π
    0.531402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66945047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753547668457031 × 2 - 1) × π
    -0.507095336914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.59308698507333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66945047} λ = 1.66945047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59308698507333))-π/2
    2×atan(0.203297067067864)-π/2
    2×0.200563797213299-π/2
    0.401127594426597-1.57079632675     		φ = -1.16966873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66945047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.652466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16966873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.017082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100362 KachelY 98769 1.66945047 -1.16966873 95.652466 -67.017082
    Oben rechts KachelX + 1 100363 KachelY 98769 1.66949840 -1.16966873 95.655212 -67.017082
    Unten links KachelX 100362 KachelY + 1 98770 1.66945047 -1.16968745 95.652466 -67.018154
    Unten rechts KachelX + 1 100363 KachelY + 1 98770 1.66949840 -1.16968745 95.655212 -67.018154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16966873--1.16968745) × R
    1.87200000001386e-05 × 6371000     		dl = 119.265120000883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16966873--1.16968745) × R
    1.87200000001386e-05 × 6371000     		dr = 119.265120000883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66945047-1.66949840) × cos(-1.16966873) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390456679945577 × 6371000     		do = 119.230644415315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66945047-1.66949840) × cos(-1.16968745) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390439445846396 × 6371000     		du = 119.225381775803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16966873)-sin(-1.16968745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390456679945577-0.390439445846396)×R²
    abs(1.66949840-1.66945047)×1.7234099181862e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7234099181862e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7234099181862e-05×40589641000000     		ar = 14219.743289595m²