Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100356 / 98764
↖ ↑ ↗
← S 67.011719°
E 95.635986°		 ← 119.28 m → S 67.011719°
E 95.638733°		 →
↑
119.27 m
↓
↑
119.27 m
↓
S 67.012792°
E 95.635986°		 ← 119.28 m →
14 226 m²		 S 67.012792°
E 95.638733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765659332275391 y=0.753513336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765659332275391 × 217)
    floor (0.765659332275391 × 131072)
    floor (100356.5)     		tx = 100356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753513336181641 × 217)
    floor (0.753513336181641 × 131072)
    floor (98764.5)     		ty = 98764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100356 / 98764 ti = "17/100356/98764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100356/98764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100356 ÷ 217
    100356 ÷ 131072     		x = 0.765655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98764 ÷ 217
    98764 ÷ 131072     		y = 0.753509521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765655517578125 × 2 - 1) × π
    0.53131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66916284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753509521484375 × 2 - 1) × π
    -0.50701904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59284730057523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66916284} λ = 1.66916284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59284730057523))-π/2
    2×atan(0.203345800063388)-π/2
    2×0.200610595582693-π/2
    0.401221191165386-1.57079632675     		φ = -1.16957514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66916284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.635986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16957514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.011719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100356 KachelY 98764 1.66916284 -1.16957514 95.635986 -67.011719
    Oben rechts KachelX + 1 100357 KachelY 98764 1.66921078 -1.16957514 95.638733 -67.011719
    Unten links KachelX 100356 KachelY + 1 98765 1.66916284 -1.16959386 95.635986 -67.012792
    Unten rechts KachelX + 1 100357 KachelY + 1 98765 1.66921078 -1.16959386 95.638733 -67.012792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16957514--1.16959386) × R
    1.87199999999166e-05 × 6371000     		dl = 119.265119999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16957514--1.16959386) × R
    1.87199999999166e-05 × 6371000     		dr = 119.265119999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66916284-1.66921078) × cos(-1.16957514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390542839183052 × 6371000     		do = 119.281835659107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66916284-1.66921078) × cos(-1.16959386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390525605768013 × 6371000     		du = 119.276572130565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16957514)-sin(-1.16959386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390542839183052-0.390525605768013)×R²
    abs(1.66921078-1.66916284)×1.72334150392861e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72334150392861e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72334150392861e-05×40589641000000     		ar = 14225.8485664801m²