Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100355 / 101423
↖ ↑ ↗
← S 69.701915°
E 95.633240°		 ← 105.93 m → S 69.701915°
E 95.635986°		 →
↑
105.95 m
↓
↑
105.95 m
↓
S 69.702868°
E 95.633240°		 ← 105.93 m →
11 223 m²		 S 69.702868°
E 95.635986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765651702880859 y=0.773799896240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765651702880859 × 217)
    floor (0.765651702880859 × 131072)
    floor (100355.5)     		tx = 100355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773799896240234 × 217)
    floor (0.773799896240234 × 131072)
    floor (101423.5)     		ty = 101423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100355 / 101423 ti = "17/100355/101423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100355/101423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100355 ÷ 217
    100355 ÷ 131072     		x = 0.765647888183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101423 ÷ 217
    101423 ÷ 131072     		y = 0.773796081542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765647888183594 × 2 - 1) × π
    0.531295776367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.66911491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773796081542969 × 2 - 1) × π
    -0.547592163085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.72031151666496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66911491} λ = 1.66911491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72031151666496))-π/2
    2×atan(0.179010374509913)-π/2
    2×0.177134205212532-π/2
    0.354268410425064-1.57079632675     		φ = -1.21652792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66911491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.633240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21652792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.701915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100355 KachelY 101423 1.66911491 -1.21652792 95.633240 -69.701915
    Oben rechts KachelX + 1 100356 KachelY 101423 1.66916284 -1.21652792 95.635986 -69.701915
    Unten links KachelX 100355 KachelY + 1 101424 1.66911491 -1.21654455 95.633240 -69.702868
    Unten rechts KachelX + 1 100356 KachelY + 1 101424 1.66916284 -1.21654455 95.635986 -69.702868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21652792--1.21654455) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dl = 105.949729999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21652792--1.21654455) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dr = 105.949729999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66911491-1.66916284) × cos(-1.21652792) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.346904296476816 × 6371000     		do = 105.931400187947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66911491-1.66916284) × cos(-1.21654455) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34688869914299 × 6371000     		du = 105.926637354427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21652792)-sin(-1.21654455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346904296476816-0.34688869914299)×R²
    abs(1.66916284-1.66911491)×1.55973338261117e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55973338261117e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55973338261117e-05×40589641000000     		ar = 11223.1509381982m²