Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100354 / 99742
↖ ↑ ↗
← S 68.038407°
E 95.630493°		 ← 114.22 m → S 68.038407°
E 95.633240°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
S 68.039434°
E 95.630493°		 ← 114.22 m →
13 048 m²		 S 68.039434°
E 95.633240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765644073486328 y=0.760974884033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765644073486328 × 217)
    floor (0.765644073486328 × 131072)
    floor (100354.5)     		tx = 100354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760974884033203 × 217)
    floor (0.760974884033203 × 131072)
    floor (99742.5)     		ty = 99742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100354 / 99742 ti = "17/100354/99742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100354/99742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100354 ÷ 217
    100354 ÷ 131072     		x = 0.765640258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99742 ÷ 217
    99742 ÷ 131072     		y = 0.760971069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765640258789062 × 2 - 1) × π
    0.531280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66906697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760971069335938 × 2 - 1) × π
    -0.521942138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63972958840364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66906697} λ = 1.66906697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63972958840364))-π/2
    2×atan(0.194032503836575)-π/2
    2×0.191651053517179-π/2
    0.383302107034358-1.57079632675     		φ = -1.18749422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66906697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.630493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18749422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.038407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100354 KachelY 99742 1.66906697 -1.18749422 95.630493 -68.038407
    Oben rechts KachelX + 1 100355 KachelY 99742 1.66911491 -1.18749422 95.633240 -68.038407
    Unten links KachelX 100354 KachelY + 1 99743 1.66906697 -1.18751215 95.630493 -68.039434
    Unten rechts KachelX + 1 100355 KachelY + 1 99743 1.66911491 -1.18751215 95.633240 -68.039434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18749422--1.18751215) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dl = 114.232030000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18749422--1.18751215) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dr = 114.232030000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66906697-1.66911491) × cos(-1.18749422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373984991403669 × 6371000     		do = 114.224642748284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66906697-1.66911491) × cos(-1.18751215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373968362438383 × 6371000     		du = 114.219563834257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18749422)-sin(-1.18751215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373984991403669-0.373968362438383)×R²
    abs(1.66911491-1.66906697)×1.66289652853147e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66289652853147e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66289652853147e-05×40589641000000     		ar = 13047.8227301407m²