Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100352 / 99741
↖ ↑ ↗
← S 68.037380°
E 95.625000°		 ← 114.21 m → S 68.037380°
E 95.627746°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
S 68.038407°
E 95.625000°		 ← 114.20 m →
13 046 m²		 S 68.038407°
E 95.627746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765628814697266 y=0.760967254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765628814697266 × 217)
    floor (0.765628814697266 × 131072)
    floor (100352.5)     		tx = 100352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760967254638672 × 217)
    floor (0.760967254638672 × 131072)
    floor (99741.5)     		ty = 99741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100352 / 99741 ti = "17/100352/99741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100352/99741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100352 ÷ 217
    100352 ÷ 131072     		x = 0.765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99741 ÷ 217
    99741 ÷ 131072     		y = 0.760963439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765625 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66897110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760963439941406 × 2 - 1) × π
    -0.521926879882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.63968165150402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66897110} λ = 1.66897110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63968165150402))-π/2
    2×atan(0.194041805376176)-π/2
    2×0.191660017556942-π/2
    0.383320035113883-1.57079632675     		φ = -1.18747629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66897110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18747629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.037380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100352 KachelY 99741 1.66897110 -1.18747629 95.625000 -68.037380
    Oben rechts KachelX + 1 100353 KachelY 99741 1.66901903 -1.18747629 95.627746 -68.037380
    Unten links KachelX 100352 KachelY + 1 99742 1.66897110 -1.18749422 95.625000 -68.038407
    Unten rechts KachelX + 1 100353 KachelY + 1 99742 1.66901903 -1.18749422 95.627746 -68.038407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18747629--1.18749422) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dl = 114.232030000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18747629--1.18749422) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dr = 114.232030000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66897110-1.66901903) × cos(-1.18747629) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374001620248723 × 6371000     		do = 114.205893982509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66897110-1.66901903) × cos(-1.18749422) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373984991403669 × 6371000     		du = 114.200816164627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18747629)-sin(-1.18749422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374001620248723-0.373984991403669)×R²
    abs(1.66901903-1.66897110)×1.66288450547669e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66288450547669e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66288450547669e-05×40589641000000     		ar = 13045.6810831887m²