Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100350 / 99746
↖ ↑ ↗
← S 68.042515°
E 95.619507°		 ← 114.20 m → S 68.042515°
E 95.622253°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
S 68.043542°
E 95.619507°		 ← 114.20 m →
13 046 m²		 S 68.043542°
E 95.622253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765613555908203 y=0.761005401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765613555908203 × 217)
    floor (0.765613555908203 × 131072)
    floor (100350.5)     		tx = 100350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761005401611328 × 217)
    floor (0.761005401611328 × 131072)
    floor (99746.5)     		ty = 99746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100350 / 99746 ti = "17/100350/99746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100350/99746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100350 ÷ 217
    100350 ÷ 131072     		x = 0.765609741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99746 ÷ 217
    99746 ÷ 131072     		y = 0.761001586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765609741210938 × 2 - 1) × π
    0.531219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66887522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761001586914062 × 2 - 1) × π
    -0.522003173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63992133600212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66887522} λ = 1.66887522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63992133600212))-π/2
    2×atan(0.19399530213672)-π/2
    2×0.191615201343155-π/2
    0.38323040268631-1.57079632675     		φ = -1.18756592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66887522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.619507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18756592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.042515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100350 KachelY 99746 1.66887522 -1.18756592 95.619507 -68.042515
    Oben rechts KachelX + 1 100351 KachelY 99746 1.66892316 -1.18756592 95.622253 -68.042515
    Unten links KachelX 100350 KachelY + 1 99747 1.66887522 -1.18758385 95.619507 -68.043542
    Unten rechts KachelX + 1 100351 KachelY + 1 99747 1.66892316 -1.18758385 95.622253 -68.043542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18756592--1.18758385) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dl = 114.232030000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18756592--1.18758385) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dr = 114.232030000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66887522-1.66892316) × cos(-1.18756592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373918493370429 × 6371000     		do = 114.204332537274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66887522-1.66892316) × cos(-1.18758385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373901863924409 × 6371000     		du = 114.199253476417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18756592)-sin(-1.18758385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373918493370429-0.373901863924409)×R²
    abs(1.66892316-1.66887522)×1.66294460199334e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66294460199334e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66294460199334e-05×40589641000000     		ar = 13045.5026451608m²