Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100350 / 97300
↖ ↑ ↗
← S 65.389723°
E 95.619507°		 ← 127.19 m → S 65.389723°
E 95.622253°		 →
↑
127.17 m
↓
↑
127.17 m
↓
S 65.390866°
E 95.619507°		 ← 127.19 m →
16 174 m²		 S 65.390866°
E 95.622253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765613555908203 y=0.742343902587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765613555908203 × 217)
    floor (0.765613555908203 × 131072)
    floor (100350.5)     		tx = 100350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742343902587891 × 217)
    floor (0.742343902587891 × 131072)
    floor (97300.5)     		ty = 97300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100350 / 97300 ti = "17/100350/97300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100350/97300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100350 ÷ 217
    100350 ÷ 131072     		x = 0.765609741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97300 ÷ 217
    97300 ÷ 131072     		y = 0.742340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765609741210938 × 2 - 1) × π
    0.531219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66887522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.48468017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52266767953146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66887522} λ = 1.66887522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52266767953146))-π/2
    2×atan(0.218129211269652)-π/2
    2×0.214765183408055-π/2
    0.429530366816109-1.57079632675     		φ = -1.14126596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66887522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.619507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14126596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.389723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100350 KachelY 97300 1.66887522 -1.14126596 95.619507 -65.389723
    Oben rechts KachelX + 1 100351 KachelY 97300 1.66892316 -1.14126596 95.622253 -65.389723
    Unten links KachelX 100350 KachelY + 1 97301 1.66887522 -1.14128592 95.619507 -65.390866
    Unten rechts KachelX + 1 100351 KachelY + 1 97301 1.66892316 -1.14128592 95.622253 -65.390866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14126596--1.14128592) × R
    1.99600000001521e-05 × 6371000     		dl = 127.165160000969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14126596--1.14128592) × R
    1.99600000001521e-05 × 6371000     		dr = 127.165160000969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66887522-1.66892316) × cos(-1.14126596) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416443875975012 × 6371000     		do = 127.192678988053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66887522-1.66892316) × cos(-1.14128592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416425729029998 × 6371000     		du = 127.187136443943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14126596)-sin(-1.14128592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416443875975012-0.416425729029998)×R²
    abs(1.66892316-1.66887522)×1.81469450138416e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81469450138416e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81469450138416e-05×40589641000000     		ar = 16174.1249658969m²