Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100348 / 101420
↖ ↑ ↗
← S 69.699056°
E 95.614014°		 ← 105.97 m → S 69.699056°
E 95.616760°		 →
↑
106.01 m
↓
↑
106.01 m
↓
S 69.700010°
E 95.614014°		 ← 105.96 m →
11 234 m²		 S 69.700010°
E 95.616760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765598297119141 y=0.773777008056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765598297119141 × 217)
    floor (0.765598297119141 × 131072)
    floor (100348.5)     		tx = 100348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773777008056641 × 217)
    floor (0.773777008056641 × 131072)
    floor (101420.5)     		ty = 101420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100348 / 101420 ti = "17/100348/101420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100348/101420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100348 ÷ 217
    100348 ÷ 131072     		x = 0.765594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101420 ÷ 217
    101420 ÷ 131072     		y = 0.773773193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765594482421875 × 2 - 1) × π
    0.53118896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66877935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773773193359375 × 2 - 1) × π
    -0.54754638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72016770596609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66877935} λ = 1.66877935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72016770596609))-π/2
    2×atan(0.179036119968166)-π/2
    2×0.177159151169742-π/2
    0.354318302339485-1.57079632675     		φ = -1.21647802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66877935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.614014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21647802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.699056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100348 KachelY 101420 1.66877935 -1.21647802 95.614014 -69.699056
    Oben rechts KachelX + 1 100349 KachelY 101420 1.66882729 -1.21647802 95.616760 -69.699056
    Unten links KachelX 100348 KachelY + 1 101421 1.66877935 -1.21649466 95.614014 -69.700010
    Unten rechts KachelX + 1 100349 KachelY + 1 101421 1.66882729 -1.21649466 95.616760 -69.700010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21647802--1.21649466) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dl = 106.01343999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21647802--1.21649466) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dr = 106.01343999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66877935-1.66882729) × cos(-1.21647802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346951097281477 × 6371000     		do = 105.967795630938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66877935-1.66882729) × cos(-1.21649466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346935490856648 × 6371000     		du = 105.963029027085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21647802)-sin(-1.21649466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346951097281477-0.346935490856648)×R²
    abs(1.66882729-1.66877935)×1.56064248290066e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56064248290066e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56064248290066e-05×40589641000000     		ar = 11233.757882346m²