Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100345 / 99773
↖ ↑ ↗
← S 68.070227°
E 95.605774°		 ← 114.07 m → S 68.070227°
E 95.608521°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
S 68.071254°
E 95.605774°		 ← 114.06 m →
13 015 m²		 S 68.071254°
E 95.608521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765575408935547 y=0.761211395263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765575408935547 × 217)
    floor (0.765575408935547 × 131072)
    floor (100345.5)     		tx = 100345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761211395263672 × 217)
    floor (0.761211395263672 × 131072)
    floor (99773.5)     		ty = 99773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100345 / 99773 ti = "17/100345/99773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100345/99773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100345 ÷ 217
    100345 ÷ 131072     		x = 0.765571594238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99773 ÷ 217
    99773 ÷ 131072     		y = 0.761207580566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765571594238281 × 2 - 1) × π
    0.531143188476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.66863554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761207580566406 × 2 - 1) × π
    -0.522415161132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.64121563229186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66863554} λ = 1.66863554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64121563229186))-π/2
    2×atan(0.193744377157601)-π/2
    2×0.191373365875646-π/2
    0.382746731751292-1.57079632675     		φ = -1.18804959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66863554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.605774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18804959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.070227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100345 KachelY 99773 1.66863554 -1.18804959 95.605774 -68.070227
    Oben rechts KachelX + 1 100346 KachelY 99773 1.66868348 -1.18804959 95.608521 -68.070227
    Unten links KachelX 100345 KachelY + 1 99774 1.66863554 -1.18806750 95.605774 -68.071254
    Unten rechts KachelX + 1 100346 KachelY + 1 99774 1.66868348 -1.18806750 95.608521 -68.071254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18804959--1.18806750) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dl = 114.104609999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18804959--1.18806750) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dr = 114.104609999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66863554-1.66868348) × cos(-1.18804959) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.37346986431465 × 6371000     		do = 114.067309676455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66863554-1.66868348) × cos(-1.18806750) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.373453250180931 × 6371000     		du = 114.062235292369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18804959)-sin(-1.18806750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37346986431465-0.373453250180931)×R²
    abs(1.66868348-1.66863554)×1.66141337194503e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.66141337194503e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.66141337194503e-05×40589641000000     		ar = 13015.3163795716m²