Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100344 / 98727
↖ ↑ ↗
← S 66.971998°
E 95.603027°		 ← 119.48 m → S 66.971998°
E 95.605774°		 →
↑
119.46 m
↓
↑
119.46 m
↓
S 66.973073°
E 95.603027°		 ← 119.47 m →
14 272 m²		 S 66.973073°
E 95.605774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765567779541016 y=0.753231048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765567779541016 × 217)
    floor (0.765567779541016 × 131072)
    floor (100344.5)     		tx = 100344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753231048583984 × 217)
    floor (0.753231048583984 × 131072)
    floor (98727.5)     		ty = 98727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100344 / 98727 ti = "17/100344/98727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100344/98727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100344 ÷ 217
    100344 ÷ 131072     		x = 0.76556396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98727 ÷ 217
    98727 ÷ 131072     		y = 0.753227233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76556396484375 × 2 - 1) × π
    0.5311279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66858760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753227233886719 × 2 - 1) × π
    -0.506454467773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.59107363528928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66858760} λ = 1.66858760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59107363528928))-π/2
    2×atan(0.203706787490802)-π/2
    2×0.20095722460932-π/2
    0.40191444921864-1.57079632675     		φ = -1.16888188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66858760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.603027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16888188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.971998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100344 KachelY 98727 1.66858760 -1.16888188 95.603027 -66.971998
    Oben rechts KachelX + 1 100345 KachelY 98727 1.66863554 -1.16888188 95.605774 -66.971998
    Unten links KachelX 100344 KachelY + 1 98728 1.66858760 -1.16890063 95.603027 -66.973073
    Unten rechts KachelX + 1 100345 KachelY + 1 98728 1.66863554 -1.16890063 95.605774 -66.973073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16888188--1.16890063) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dl = 119.456249999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16888188--1.16890063) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dr = 119.456249999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66858760-1.66863554) × cos(-1.16888188) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39118094986976 × 6371000     		do = 119.476731087796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66858760-1.66863554) × cos(-1.16890063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391163693917513 × 6371000     		du = 119.471460675812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16888188)-sin(-1.16890063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39118094986976-0.391163693917513)×R²
    abs(1.66863554-1.66858760)×1.72559522462201e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72559522462201e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72559522462201e-05×40589641000000     		ar = 14271.9274664143m²