Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100343 / 101551
↖ ↑ ↗
← S 69.823523°
E 95.600281°		 ← 105.32 m → S 69.823523°
E 95.603027°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
S 69.824471°
E 95.600281°		 ← 105.32 m →
11 092 m²		 S 69.824471°
E 95.603027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765560150146484 y=0.774776458740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765560150146484 × 217)
    floor (0.765560150146484 × 131072)
    floor (100343.5)     		tx = 100343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774776458740234 × 217)
    floor (0.774776458740234 × 131072)
    floor (101551.5)     		ty = 101551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100343 / 101551 ti = "17/100343/101551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100343/101551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100343 ÷ 217
    100343 ÷ 131072     		x = 0.765556335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101551 ÷ 217
    101551 ÷ 131072     		y = 0.774772644042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765556335449219 × 2 - 1) × π
    0.531112670898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.66853967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774772644042969 × 2 - 1) × π
    -0.549545288085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.72644743981632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66853967} λ = 1.66853967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72644743981632))-π/2
    2×atan(0.177915343557126)-π/2
    2×0.176072973512673-π/2
    0.352145947025346-1.57079632675     		φ = -1.21865038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66853967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.600281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21865038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.823523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100343 KachelY 101551 1.66853967 -1.21865038 95.600281 -69.823523
    Oben rechts KachelX + 1 100344 KachelY 101551 1.66858760 -1.21865038 95.603027 -69.823523
    Unten links KachelX 100343 KachelY + 1 101552 1.66853967 -1.21866691 95.600281 -69.824471
    Unten rechts KachelX + 1 100344 KachelY + 1 101552 1.66858760 -1.21866691 95.603027 -69.824471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21865038--1.21866691) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dl = 105.3126300008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21865038--1.21866691) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dr = 105.3126300008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66853967-1.66858760) × cos(-1.21865038) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344912860233685 × 6371000     		do = 105.323291174129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66853967-1.66858760) × cos(-1.21866691) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344897344554807 × 6371000     		du = 105.31855327493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21865038)-sin(-1.21866691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344912860233685-0.344897344554807)×R²
    abs(1.66858760-1.66853967)×1.55156788781419e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55156788781419e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55156788781419e-05×40589641000000     		ar = 11091.6233137223m²