Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100342 / 97302
↖ ↑ ↗
← S 65.392010°
E 95.597534°		 ← 127.18 m → S 65.392010°
E 95.600281°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
S 65.393154°
E 95.597534°		 ← 127.18 m →
16 181 m²		 S 65.393154°
E 95.600281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765552520751953 y=0.742359161376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765552520751953 × 217)
    floor (0.765552520751953 × 131072)
    floor (100342.5)     		tx = 100342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742359161376953 × 217)
    floor (0.742359161376953 × 131072)
    floor (97302.5)     		ty = 97302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100342 / 97302 ti = "17/100342/97302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100342/97302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100342 ÷ 217
    100342 ÷ 131072     		x = 0.765548706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97302 ÷ 217
    97302 ÷ 131072     		y = 0.742355346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765548706054688 × 2 - 1) × π
    0.531097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66849173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742355346679688 × 2 - 1) × π
    -0.484710693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5227635533307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66849173} λ = 1.66849173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5227635533307))-π/2
    2×atan(0.218108299395909)-π/2
    2×0.21474522124979-π/2
    0.42949044249958-1.57079632675     		φ = -1.14130588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66849173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.597534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14130588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.392010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100342 KachelY 97302 1.66849173 -1.14130588 95.597534 -65.392010
    Oben rechts KachelX + 1 100343 KachelY 97302 1.66853967 -1.14130588 95.600281 -65.392010
    Unten links KachelX 100342 KachelY + 1 97303 1.66849173 -1.14132585 95.597534 -65.393154
    Unten rechts KachelX + 1 100343 KachelY + 1 97303 1.66853967 -1.14132585 95.600281 -65.393154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14130588--1.14132585) × R
    1.99700000000913e-05 × 6371000     		dl = 127.228870000582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14130588--1.14132585) × R
    1.99700000000913e-05 × 6371000     		dr = 127.228870000582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66849173-1.66853967) × cos(-1.14130588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41640758191908 × 6371000     		do = 127.181593849162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66849173-1.66853967) × cos(-1.14132585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4163894255504 × 6371000     		du = 127.176048426823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14130588)-sin(-1.14132585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41640758191908-0.4163894255504)×R²
    abs(1.66853967-1.66849173)×1.81563686795227e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81563686795227e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81563686795227e-05×40589641000000     		ar = 16180.8177020705m²