Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100341 / 101549
↖ ↑ ↗
← S 69.821629°
E 95.594788°		 ← 105.35 m → S 69.821629°
E 95.597534°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
S 69.822576°
E 95.594788°		 ← 105.35 m →
11 102 m²		 S 69.822576°
E 95.597534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765544891357422 y=0.774761199951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765544891357422 × 217)
    floor (0.765544891357422 × 131072)
    floor (100341.5)     		tx = 100341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774761199951172 × 217)
    floor (0.774761199951172 × 131072)
    floor (101549.5)     		ty = 101549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100341 / 101549 ti = "17/100341/101549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100341/101549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100341 ÷ 217
    100341 ÷ 131072     		x = 0.765541076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101549 ÷ 217
    101549 ÷ 131072     		y = 0.774757385253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765541076660156 × 2 - 1) × π
    0.531082153320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.66844379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774757385253906 × 2 - 1) × π
    -0.549514770507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.72635156601708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66844379} λ = 1.66844379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72635156601708))-π/2
    2×atan(0.177932401794762)-π/2
    2×0.176089508309815-π/2
    0.35217901661963-1.57079632675     		φ = -1.21861731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66844379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.594788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21861731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.821629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100341 KachelY 101549 1.66844379 -1.21861731 95.594788 -69.821629
    Oben rechts KachelX + 1 100342 KachelY 101549 1.66849173 -1.21861731 95.597534 -69.821629
    Unten links KachelX 100341 KachelY + 1 101550 1.66844379 -1.21863385 95.594788 -69.822576
    Unten rechts KachelX + 1 100342 KachelY + 1 101550 1.66849173 -1.21863385 95.597534 -69.822576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21861731--1.21863385) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dl = 105.376340000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21861731--1.21863385) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dr = 105.376340000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66844379-1.66849173) × cos(-1.21861731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344943900694937 × 6371000     		do = 105.354746128168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66844379-1.66849173) × cos(-1.21863385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344928375818318 × 6371000     		du = 105.350004431239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21861731)-sin(-1.21863385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344943900694937-0.344928375818318)×R²
    abs(1.66849173-1.66844379)×1.5524876618267e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5524876618267e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5524876618267e-05×40589641000000     		ar = 11101.6477175344m²