Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100340 / 97308
↖ ↑ ↗
← S 65.398872°
E 95.592041°		 ← 127.15 m → S 65.398872°
E 95.594788°		 →
↑
127.10 m
↓
↑
127.10 m
↓
S 65.400015°
E 95.592041°		 ← 127.14 m →
16 160 m²		 S 65.400015°
E 95.594788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765537261962891 y=0.742404937744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765537261962891 × 217)
    floor (0.765537261962891 × 131072)
    floor (100340.5)     		tx = 100340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742404937744141 × 217)
    floor (0.742404937744141 × 131072)
    floor (97308.5)     		ty = 97308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100340 / 97308 ti = "17/100340/97308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100340/97308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100340 ÷ 217
    100340 ÷ 131072     		x = 0.765533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97308 ÷ 217
    97308 ÷ 131072     		y = 0.742401123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765533447265625 × 2 - 1) × π
    0.53106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66839585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742401123046875 × 2 - 1) × π
    -0.48480224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52305117472842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66839585} λ = 1.66839585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52305117472842))-π/2
    2×atan(0.218045575802738)-π/2
    2×0.214685345214233-π/2
    0.429370690428466-1.57079632675     		φ = -1.14142564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66839585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.592041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14142564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.398872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100340 KachelY 97308 1.66839585 -1.14142564 95.592041 -65.398872
    Oben rechts KachelX + 1 100341 KachelY 97308 1.66844379 -1.14142564 95.594788 -65.398872
    Unten links KachelX 100340 KachelY + 1 97309 1.66839585 -1.14144559 95.592041 -65.400015
    Unten rechts KachelX + 1 100341 KachelY + 1 97309 1.66844379 -1.14144559 95.594788 -65.400015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14142564--1.14144559) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dl = 127.101449999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14142564--1.14144559) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dr = 127.101449999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66839585-1.66844379) × cos(-1.14142564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416298695769976 × 6371000     		do = 127.148337216497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66839585-1.66844379) × cos(-1.14144559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41628055659029 × 6371000     		du = 127.142797044118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14142564)-sin(-1.14144559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416298695769976-0.41628055659029)×R²
    abs(1.66844379-1.66839585)×1.8139179686516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8139179686516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8139179686516e-05×40589641000000     		ar = 16160.3859437259m²