Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100338 / 97307
↖ ↑ ↗
← S 65.397728°
E 95.586548°		 ← 127.15 m → S 65.397728°
E 95.589295°		 →
↑
127.17 m
↓
↑
127.17 m
↓
S 65.398872°
E 95.586548°		 ← 127.15 m →
16 169 m²		 S 65.398872°
E 95.589295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765522003173828 y=0.742397308349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765522003173828 × 217)
    floor (0.765522003173828 × 131072)
    floor (100338.5)     		tx = 100338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742397308349609 × 217)
    floor (0.742397308349609 × 131072)
    floor (97307.5)     		ty = 97307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100338 / 97307 ti = "17/100338/97307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100338/97307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100338 ÷ 217
    100338 ÷ 131072     		x = 0.765518188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97307 ÷ 217
    97307 ÷ 131072     		y = 0.742393493652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765518188476562 × 2 - 1) × π
    0.531036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66829998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742393493652344 × 2 - 1) × π
    -0.484786987304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.5230032378288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66829998} λ = 1.66829998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5230032378288))-π/2
    2×atan(0.218056028482151)-π/2
    2×0.214695323466159-π/2
    0.429390646932319-1.57079632675     		φ = -1.14140568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66829998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.586548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14140568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.397728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100338 KachelY 97307 1.66829998 -1.14140568 95.586548 -65.397728
    Oben rechts KachelX + 1 100339 KachelY 97307 1.66834792 -1.14140568 95.589295 -65.397728
    Unten links KachelX 100338 KachelY + 1 97308 1.66829998 -1.14142564 95.586548 -65.398872
    Unten rechts KachelX + 1 100339 KachelY + 1 97308 1.66834792 -1.14142564 95.589295 -65.398872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14140568--1.14142564) × R
    1.995999999993e-05 × 6371000     		dl = 127.165159999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14140568--1.14142564) × R
    1.995999999993e-05 × 6371000     		dr = 127.165159999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66829998-1.66834792) × cos(-1.14140568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416316843876171 × 6371000     		do = 127.153880115261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66829998-1.66834792) × cos(-1.14142564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416298695769976 × 6371000     		du = 127.148337216497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14140568)-sin(-1.14142564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416316843876171-0.416298695769976)×R²
    abs(1.66834792-1.66829998)×1.81481061945488e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81481061945488e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81481061945488e-05×40589641000000     		ar = 16169.1910782135m²