Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100338 / 101545
↖ ↑ ↗
← S 69.817839°
E 95.586548°		 ← 105.37 m → S 69.817839°
E 95.589295°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
S 69.818786°
E 95.586548°		 ← 105.37 m →
11 104 m²		 S 69.818786°
E 95.589295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765522003173828 y=0.774730682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765522003173828 × 217)
    floor (0.765522003173828 × 131072)
    floor (100338.5)     		tx = 100338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774730682373047 × 217)
    floor (0.774730682373047 × 131072)
    floor (101545.5)     		ty = 101545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100338 / 101545 ti = "17/100338/101545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100338/101545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100338 ÷ 217
    100338 ÷ 131072     		x = 0.765518188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101545 ÷ 217
    101545 ÷ 131072     		y = 0.774726867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765518188476562 × 2 - 1) × π
    0.531036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66829998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774726867675781 × 2 - 1) × π
    -0.549453735351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.7261598184186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66829998} λ = 1.66829998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7261598184186))-π/2
    2×atan(0.17796652317674)-π/2
    2×0.176122582368284-π/2
    0.352245164736568-1.57079632675     		φ = -1.21855116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66829998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.586548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21855116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.817839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100338 KachelY 101545 1.66829998 -1.21855116 95.586548 -69.817839
    Oben rechts KachelX + 1 100339 KachelY 101545 1.66834792 -1.21855116 95.589295 -69.817839
    Unten links KachelX 100338 KachelY + 1 101546 1.66829998 -1.21856770 95.586548 -69.818786
    Unten rechts KachelX + 1 100339 KachelY + 1 101546 1.66834792 -1.21856770 95.589295 -69.818786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21855116--1.21856770) × R
    1.65399999998428e-05 × 6371000     		dl = 105.376339998998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21855116--1.21856770) × R
    1.65399999998428e-05 × 6371000     		dr = 105.376339998998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66829998-1.66834792) × cos(-1.21855116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345005989871694 × 6371000     		do = 105.373709760925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66829998-1.66834792) × cos(-1.21856770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344990465372511 × 6371000     		du = 105.368968179275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21855116)-sin(-1.21856770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345005989871694-0.344990465372511)×R²
    abs(1.66834792-1.66829998)×1.55244991822401e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55244991822401e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55244991822401e-05×40589641000000     		ar = 11103.6460415453m²