Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100337 / 98786
↖ ↑ ↗
← S 67.035306°
E 95.583801°		 ← 119.17 m → S 67.035306°
E 95.586548°		 →
↑
119.14 m
↓
↑
119.14 m
↓
S 67.036378°
E 95.583801°		 ← 119.16 m →
14 197 m²		 S 67.036378°
E 95.586548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765514373779297 y=0.753681182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765514373779297 × 217)
    floor (0.765514373779297 × 131072)
    floor (100337.5)     		tx = 100337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753681182861328 × 217)
    floor (0.753681182861328 × 131072)
    floor (98786.5)     		ty = 98786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100337 / 98786 ti = "17/100337/98786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100337/98786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100337 ÷ 217
    100337 ÷ 131072     		x = 0.765510559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98786 ÷ 217
    98786 ÷ 131072     		y = 0.753677368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765510559082031 × 2 - 1) × π
    0.531021118164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66825204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753677368164062 × 2 - 1) × π
    -0.507354736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59390191236687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66825204} λ = 1.66825204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59390191236687))-π/2
    2×atan(0.203131462226331)-π/2
    2×0.200404759979615-π/2
    0.40080951995923-1.57079632675     		φ = -1.16998681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66825204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.583801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16998681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.035306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100337 KachelY 98786 1.66825204 -1.16998681 95.583801 -67.035306
    Oben rechts KachelX + 1 100338 KachelY 98786 1.66829998 -1.16998681 95.586548 -67.035306
    Unten links KachelX 100337 KachelY + 1 98787 1.66825204 -1.17000551 95.583801 -67.036378
    Unten rechts KachelX + 1 100338 KachelY + 1 98787 1.66829998 -1.17000551 95.586548 -67.036378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16998681--1.17000551) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dl = 119.137700000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16998681--1.17000551) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dr = 119.137700000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66825204-1.66829998) × cos(-1.16998681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390163828974676 × 6371000     		do = 119.166076185746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66825204-1.66829998) × cos(-1.17000551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390146610966514 × 6371000     		du = 119.160817362862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16998681)-sin(-1.17000551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390163828974676-0.390146610966514)×R²
    abs(1.66829998-1.66825204)×1.7218008161346e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7218008161346e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7218008161346e-05×40589641000000     		ar = 14196.8589732964m²