Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100336 / 101421
↖ ↑ ↗
← S 69.700010°
E 95.581055°		 ← 105.94 m → S 69.700010°
E 95.583801°		 →
↑
105.95 m
↓
↑
105.95 m
↓
S 69.700963°
E 95.581055°		 ← 105.94 m →
11 224 m²		 S 69.700963°
E 95.583801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765506744384766 y=0.773784637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765506744384766 × 217)
    floor (0.765506744384766 × 131072)
    floor (100336.5)     		tx = 100336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773784637451172 × 217)
    floor (0.773784637451172 × 131072)
    floor (101421.5)     		ty = 101421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100336 / 101421 ti = "17/100336/101421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100336/101421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100336 ÷ 217
    100336 ÷ 131072     		x = 0.7655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101421 ÷ 217
    101421 ÷ 131072     		y = 0.773780822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7655029296875 × 2 - 1) × π
    0.531005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66820411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773780822753906 × 2 - 1) × π
    -0.547561645507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.72021564286572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66820411} λ = 1.66820411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72021564286572))-π/2
    2×atan(0.179027537737359)-π/2
    2×0.177150835476816-π/2
    0.354301670953632-1.57079632675     		φ = -1.21649466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66820411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.581055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21649466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.700010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100336 KachelY 101421 1.66820411 -1.21649466 95.581055 -69.700010
    Oben rechts KachelX + 1 100337 KachelY 101421 1.66825204 -1.21649466 95.583801 -69.700010
    Unten links KachelX 100336 KachelY + 1 101422 1.66820411 -1.21651129 95.581055 -69.700963
    Unten rechts KachelX + 1 100337 KachelY + 1 101422 1.66825204 -1.21651129 95.583801 -69.700963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21649466--1.21651129) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dl = 105.949729999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21649466--1.21651129) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dr = 105.949729999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66820411-1.66825204) × cos(-1.21649466) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.346935490856648 × 6371000     		do = 105.940925767097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66820411-1.66825204) × cos(-1.21651129) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.346919893714703 × 6371000     		du = 105.936162992171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21649466)-sin(-1.21651129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346935490856648-0.346919893714703)×R²
    abs(1.66825204-1.66820411)×1.55971419442125e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55971419442125e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55971419442125e-05×40589641000000     		ar = 11224.160173646m²